Questão de Matemática — Álgebra Linear — FGV 2024

Determinantes: propriedade da multiplicação por escalar

Gabarito: letra D. Como $A^2 = kA$ e $\det(A) \neq 0$, aplicando o determinante em ambos os lados obtemos $\det(A^2) = \det(kA)$. Pela propriedade $\det(kA) = k^n \det(A)$ e $\det(A^2) = [\det(A)]^2$, chegamos a $[\det(A)]^2 = k^n \det(A)$. Como $\det(A) \neq 0$, dividimos ambos os lados por $\det(A)$ e obtemos $\det(A) = k^n$.

O determinante é um número associado a uma matriz quadrada, e possui propriedades que facilitam cálculos. Uma das mais cobradas é a que relaciona o determinante de uma matriz multiplicada por uma constante: ao multiplicar todos os elementos de uma matriz de ordem $n$ por uma constante $k$, o determinante fica multiplicado por $k^n$. Ou seja, $\det(kA) = k^n \det(A)$. Essa propriedade é a chave para resolver a questão.

Outra propriedade importante é a do determinante do produto: $\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)$. No caso particular em que $A = B$, temos $\det(A^2) = \det(A) \cdot \det(A) = [\det(A)]^2$. Essa é a segunda peça do raciocínio.

A pegadinha da banca está em esquecer a propriedade do escalar e simplesmente "cortar" o $A$ da equação $A^2 = kA$, concluindo erroneamente que $A = k$ e, portanto, $\det(A) = k$ (alternativa A). Mas isso só seria válido se $A$ fosse um número, não uma matriz. A presença do $n$ na alternativa D é o sinal de que a ordem da matriz importa.

Vamos ao passo a passo:

1. Partimos de $A^2 = kA$.

2. Aplicamos o determinante em ambos os lados: $\det(A^2) = \det(kA)$.

3. Usamos a propriedade do produto: $\det(A^2) = [\det(A)]^2$.

4. Usamos a propriedade do escalar: $\det(kA) = k^n \det(A)$.

5. Igualamos: $[\det(A)]^2 = k^n \det(A)$.

6. Como $\det(A) \neq 0$, dividimos ambos os lados por $\det(A)$: $\det(A) = k^n$.

Portanto, a alternativa correta é a D.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que $\det(A) = k$. Esse seria o resultado se pudéssemos "cancelar" a matriz $A$ na equação $A^2 = kA$, o que não é válido para matrizes. A confusão está em tratar a matriz como um número. O correto envolve a ordem $n$ da matriz, como mostra a alternativa D.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que $\det(A) = 1$. Isso só ocorreria em casos específicos, não como consequência geral da condição $A^2 = kA$. Não há nada na equação que force o determinante a ser 1.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que $\det(A) = 0$. O enunciado explicitamente diz que $\det(A) \neq 0$, então essa alternativa contradiz a hipótese. Além disso, se o determinante fosse zero, não poderíamos dividir a equação por ele, e a conclusão seria diferente.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $\det(A) = k^n$. Aplicamos corretamente as propriedades do determinante: $\det(A^2) = [\det(A)]^2$ e $\det(kA) = k^n \det(A)$, e como $\det(A) \neq 0$, dividimos e obtemos o resultado.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que $\det(A) = -k^n$. O sinal negativo não tem fundamento. Como $k$ é um número real positivo e $\det(A) \neq 0$, o determinante será positivo (pois $k^n > 0$), não negativo.

Gabarito: letra D