Questão de Matemática — Álgebra Linear — FGV 2024

Matrizes: propriedades de potência e produto

Gabarito: letra A. A expressão $(A+B)(A-B)^{2024}$ se reduz a uma potência simples de uma matriz conhecida, pois as matrizes $A$ e $B$ comutam (já que $AB = BA$). Com isso, $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$, e como $A^2 = B^2$, o produto é a matriz nula. Elevar a matriz nula a qualquer potência positiva resulta na própria matriz nula, que é exatamente a matriz imagem da questão.

O ponto central desta questão é a comutatividade do produto de matrizes. Diferentemente dos números reais, onde $ab = ba$ sempre, para matrizes isso não é garantido: em geral, $AB \neq BA$. No entanto, o enunciado nos dá explicitamente que $AB = BA$ (ambos são a matriz imagem da questão), o que significa que $A$ e $B$ comutam. Essa propriedade é a chave para podermos aplicar o produto notável $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$, que só é válido quando as matrizes comutam. Vamos verificar isso passo a passo. Expandindo o produto:

Como $AB = BA$, os termos do meio se cancelam: $-AB + BA = -AB + AB = 0$. Portanto:

O enunciado afirma que $A^2 = B^2 =$ imagem da questão. Logo:

onde $\mathbf{0}$ denota a matriz nula (todos os elementos iguais a zero). Agora, a expressão pedida é $(A+B)(A-B)^{2024}$. Observe que o expoente 2024 se aplica apenas ao fator $(A-B)$, não ao produto inteiro. Precisamos calcular $(A-B)^{2024}$ primeiro. Mas note que $(A-B)^2 = (A-B)(A-B) = A^2 - AB - BA + B^2$. Como $AB = BA$, temos $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$. Isso não parece simplificar diretamente. No entanto, há uma propriedade crucial: se $AB = BA$, então $(A-B)$ e $(A+B)$ também comutam, e podemos rearranjar a expressão original. Na verdade, a forma mais elegante de resolver é notar que a expressão pode ser reescrita como:

Já sabemos que $(A+B)(A-B) = \mathbf{0}$ (matriz nula). Portanto:

Qualquer matriz multiplicada pela matriz nula resulta na matriz nula. Assim, o resultado final é a matriz nula, que corresponde à imagem da questão.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a matriz nula, que é exatamente o resultado da expressão. Como demonstrado, $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2 = \mathbf{0}$ (pois $A^2 = B^2$ e $AB = BA$), e qualquer potência de $\mathbf{0}$ (com expoente positivo) é $\mathbf{0}$. Portanto, $(A+B)(A-B)^{2024} = \mathbf{0} \cdot (A-B)^{2023} = \mathbf{0}$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta uma matriz que não é a matriz nula. O erro aqui seria não perceber que o produto $(A+B)(A-B)$ se anula. Se o candidato tentasse calcular $(A-B)^{2024}$ diretamente, sem usar a simplificação, poderia chegar a um resultado não nulo, mas isso seria um erro, pois a expressão completa se anula.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Assim como a alternativa B, esta apresenta uma matriz não nula. O raciocínio que levaria a esta alternativa seria ignorar a comutatividade e tentar expandir $(A+B)(A-B)^{2024}$ de forma incorreta, ou calcular $(A-B)^{2024}$ e depois multiplicar por $(A+B)$, sem notar que o produto dos dois primeiros fatores é zero.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Esta alternativa também apresenta uma matriz não nula. O erro aqui poderia ser confundir a expressão com $(A^2 - B^2)^{2024}$, que seria $(\mathbf{0})^{2024} = \mathbf{0}$, mas isso não é o que está sendo pedido. A expressão correta é $(A+B)(A-B)^{2024}$, e a simplificação correta leva à matriz nula.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta uma matriz não nula. O erro aqui seria semelhante ao das alternativas B, C e D: não utilizar a propriedade de que $(A+B)(A-B) = \mathbf{0}$ quando $AB = BA$ e $A^2 = B^2$. Qualquer resultado diferente da matriz nula está incorreto. Gabarito: letra A