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Questão de Matemática — Geometria Analítica — FGV 2024

MatemáticaGeometria Analítica
Código
fg085981
Banca
FGV
Órgão
INPE
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Tecnologista Júnior I - Projetos Mecânicos e Processos de Fabricação Mecânica
Considere os pontos colineares P₁, P₂ e P₃. P₁ está a uma distância de P₂ de 22 m e P₂ está a 51 m de P₃. O ponto A é o ponto médio de P₁ e P₂ e o ponto B é o ponto médio de A e P₃.A distância entre os pontos P₂ e B é
  1. A11.
  2. B13.
  3. C16.
  4. D20.
  5. E22.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 20.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 20 m (alternativa D).

A ideia por trás

O ponto médio de um segmento é o ponto que o divide em duas partes de comprimentos iguais. Em uma reta, as distâncias entre pontos consecutivos se somam: se você sabe a distância de um ponto a outro e de outro a um terceiro, a distância entre o primeiro e o terceiro é a soma. Nesta questão, aplicamos o ponto médio duas vezes seguidas: primeiro para achar A entre P₁ e P₂, depois para achar B entre A e P₃. O segredo é sempre usar a distância total entre os extremos do segmento antes de dividir por dois.

O que a questão dá

  • distância P₁P₂ = 22 m

  • distância P₂P₃ = 51 m

  • A é ponto médio de P₁ e P₂

  • B é ponto médio de A e P₃

O que queremos: a distância entre P₂ e B

Passo 1 — Calcular a distância de A a P₂

A é o ponto médio de P₁ e P₂, então ele divide o segmento P₁P₂ em duas partes iguais. Como a distância total P₁P₂ é 22 m, cada metade vale 11 m. Precisamos dessa distância para localizar A na reta.

Por que esta fórmula: A distância de A a P₂ é metade da distância P₁P₂, pois o ponto médio divide o segmento ao meio.

AP2=P1P22AP₂ = \frac{P₁P₂}{2}

De onde vem cada valor: P1P2P₁P₂ = enunciado: 22 m

AP2=222=11 mAP₂ = \frac{22}{2} = \boxed{11\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que A é o ponto médio e usar 22 m como distância de A a P₂.

Passo 2 — Calcular a distância de A a P₃

Para achar B, que é o ponto médio de A e P₃, precisamos saber a distância total entre A e P₃. Como os pontos são colineares, a distância de A a P₃ é a soma da distância de A a P₂ (11 m) com a de P₂ a P₃ (51 m).

Por que esta fórmula: Em uma reta, distâncias entre pontos consecutivos se somam: a distância entre A e P₃ é a soma das distâncias A-P₂ e P₂-P₃.

AP3=AP2+P2P3AP₃ = AP₂ + P₂P₃

De onde vem cada valor: AP2AP₂ = passo 1: 11 m · P2P3P₂P₃ = enunciado: 51 m

AP3=11+51=62 mAP₃ = 11 + 51 = \boxed{62\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar apenas 51 m como distância AP₃, esquecendo de somar os 11 m de AP₂.

Passo 3 — Calcular a distância de B a A

B é o ponto médio de A e P₃, então ele divide o segmento AP₃ em duas partes iguais. Como a distância total AP₃ é 62 m, cada metade vale 31 m. Essa é a distância de B a A.

Por que esta fórmula: O ponto médio divide o segmento ao meio, então a distância de B a A é metade da distância AP₃.

BA=AP32BA = \frac{AP₃}{2}

De onde vem cada valor: AP3AP₃ = passo 2: 62 m

BA=622=31 mBA = \frac{62}{2} = \boxed{31\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir 51 por 2 em vez de 62, achando 25,5 m.

Passo 4 — Calcular a distância de P₂ a B

Agora temos a distância de P₂ a A (11 m) e de A a B (31 m). Como B está do outro lado de A em relação a P₂, a distância de P₂ a B é a diferença entre BA e AP₂.

Por que esta fórmula: Na reta, se B está além de A, a distância P₂B é a distância BA menos a distância AP₂, pois P₂ está entre A e B? Na verdade, P₂ está entre A e B? Vamos ver: A está entre P₁ e P₂, e B está entre A e P₃. Então a ordem é P₁, A, P₂, B, P₃. Assim, P₂B = BA - AP₂.

P2B=BA−AP2P₂B = BA - AP₂

De onde vem cada valor: BABA = passo 3: 31 m · AP2AP₂ = passo 1: 11 m

P2B=31−11=20 mP₂B = 31 - 11 = \boxed{20\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar 31 e 11 em vez de subtrair, achando 42 m.

Resposta: 20 m (alternativa D)

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