Questão de Matemática — Geometria Analítica — FGV 2024

Cônicas: identificação pelas equações

Gabarito: letra A — a relação correta é 4 – 3 – 1 – 2: a equação $y = ax^2 + bx + c$ é a parábola (4), $x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$ é a hipérbole (3), $x^2 + y^2 = r^2$ é o círculo (1) e $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ é a elipse (2). A questão testa o reconhecimento imediato das formas canônicas das cônicas, um conteúdo clássico de Geometria Analítica.

As cônicas — círculo, elipse, hipérbole e parábola — são curvas obtidas pela interseção de um plano com um cone, e cada uma tem uma equação característica que a identifica. A chave para resolver é reconhecer a estrutura algébrica de cada equação, não decorar casos particulares. Vejamos cada uma:

• Parábola: é a única cônica em que uma das variáveis aparece elevada ao quadrado e a outra não. A forma $y = ax^2 + bx + c$ (função polinomial do 2º grau) é exatamente a parábola com eixo de simetria vertical. O material de apoio confirma: "A parábola estudada aqui em Geometria Analítica é a mesma parábola estudada na função polinomial do segundo grau."

• Hipérbole: a equação tem os dois termos quadráticos com sinais opostos (um positivo, outro negativo). A forma $x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$ é a hipérbole com centro na origem e eixo real horizontal.

• Círculo: a equação tem os dois termos quadráticos com o mesmo coeficiente (aqui, ambos 1) e o resultado é um quadrado do raio: $x^2 + y^2 = r^2$.

• Elipse: a equação tem os dois termos quadráticos com o mesmo sinal, mas com denominadores diferentes ($a^2$ e $b^2$): $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$. Se os denominadores fossem iguais, seria um círculo.

A pegadinha da banca está em confundir a elipse com o círculo (ambos têm soma de quadrados) e a hipérbole com a elipse (ambos têm frações com $a^2$ e $b^2$). O que separa cada par é um detalhe: no círculo os coeficientes são iguais; na elipse, diferentes; na hipérbole, os sinais são opostos.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A sequência 4 – 3 – 1 – 2 corresponde exatamente à ordem das equações apresentadas: $y = ax^2 + bx + c$ é a parábola (4), $x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$ é a hipérbole (3), $x^2 + y^2 = r^2$ é o círculo (1) e $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ é a elipse (2).

Alternativa B — ❌ Incorreta

A sequência 4 – 2 – 1 – 3 troca a hipérbole pela elipse na segunda posição e a elipse pela hipérbole na quarta. A equação $x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$ tem sinais opostos, o que a define como hipérbole (2), não elipse; e $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ tem sinais iguais, o que a define como elipse (3), não hipérbole.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A sequência 4 – 3 – 2 – 1 troca o círculo pela elipse na terceira posição e a elipse pelo círculo na quarta. A equação $x^2 + y^2 = r^2$ tem coeficientes iguais, caracterizando o círculo (1), não a elipse; e $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ tem denominadores diferentes, caracterizando a elipse (2), não o círculo.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A sequência 3 – 2 – 1 – 4 começa errada: a primeira equação, $y = ax^2 + bx + c$, é a parábola (4), não a hipérbole (3). Além disso, a última equação, $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$, é a elipse (2), não a parábola (4).

Alternativa E — ❌ Incorreta

A sequência 3 – 1 – 2 – 4 também começa errada: a primeira equação é a parábola (4), não a hipérbole (3). E a segunda equação, $x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1$, é a hipérbole (3), não o círculo (1).

Na prova, leia a equação e pergunte: "há soma ou diferença de quadrados?" e "os coeficientes são iguais?" — isso resolve a questão em segundos.

Gabarito: letra A