Questão de Matemática — Estudo da Reta — FGV 2024

Estudo da Reta: equações paramétricas e pontos

Gabarito: letra B — a associação correta, na ordem apresentada, é 1 – 3 – 2 – 4. Para resolver, basta substituir os pontos dados em cada equação paramétrica e verificar qual par de equações é satisfeito por ambos os pontos da reta correspondente.

A ideia por trás

Uma reta no plano pode ser representada de várias formas: pela equação geral, pela equação reduzida, pela equação segmentária e também pelas equações paramétricas. Nas paramétricas, as coordenadas $x$ e $y$ de um ponto da reta são expressas em função de um parâmetro (geralmente $t$). Assim, para cada valor real de $t$, obtemos um ponto $(x, y)$ da reta.

Para verificar se um ponto pertence a uma reta dada por equações paramétricas, basta substituir as coordenadas do ponto nas equações e ver se existe um mesmo valor de $t$ que satisfaça ambas. Por exemplo, para a reta 1 ($x = t + 1$, $y = 2t$), o ponto $(1, 0)$: da primeira equação, $1 = t + 1 \Rightarrow t = 0$; da segunda, $0 = 2t \Rightarrow t = 0$. Como o valor de $t$ é o mesmo, o ponto pertence à reta. Já o ponto $(0, -2)$: $0 = t + 1 \Rightarrow t = -1$; $-2 = 2t \Rightarrow t = -1$. Também pertence. Logo, a reta 1 passa por $(1,0)$ e $(0,-2)$.

Esse método é direto e evita erros. Outra forma é eliminar o parâmetro $t$ e obter a equação reduzida da reta, mas a substituição direta é mais rápida e segura para este tipo de questão.

Resolvendo cada associação

Vamos aplicar o método para cada reta e cada par de pontos:

Reta 1: $x = t + 1$, $y = 2t$

• Ponto $(1, 0)$: $t = 0$ em ambas. ✅

• Ponto $(0, -2)$: $t = -1$ em ambas. ✅

• Corresponde à reta que passa por (1,0) e (0,-2).

Reta 2: $x = t$, $y = 3t + 2$

• Ponto $(0, 2)$: $t = 0$ em ambas. ✅

• Ponto $(1, 5)$: $t = 1$ em ambas. ✅

• Corresponde à reta que passa por (0,2) e (1,5).

Reta 3: $x = 2t - 1$, $y = t$

• Ponto $(-1, 0)$: $t = 0$ em ambas. ✅

• Ponto $(0, 1)$: $t = 0,5$ em ambas. ✅

• Corresponde à reta que passa por (-1,0) e (0,1).

Reta 4: $x = 3t$, $y = 2t + 1$

• Ponto $(0, -1)$: $t = 0$ em ambas. ✅

• Ponto $(3, 1)$: $t = 1$ em ambas. ✅

• Corresponde à reta que passa por (0,-1) e (3,1).

Alternativa A — ❌ Incorreta

A sequência 1 – 4 – 3 – 2 está errada porque a reta 4 não passa pelos pontos $(-1,0)$ e $(0,1)$. Para $(-1,0)$: $-1 = 3t \Rightarrow t = -1/3$, mas $0 = 2(-1/3) + 1 = 1/3$, o que é falso. A reta 4 corresponde ao último par de pontos.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A sequência 1 – 3 – 2 – 4 está correta: a reta 1 passa por (1,0) e (0,-2); a reta 3 passa por (-1,0) e (0,1); a reta 2 passa por (0,2) e (1,5); a reta 4 passa por (0,-1) e (3,1).

Alternativa C — ❌ Incorreta

A sequência 1 – 2 – 3 – 4 está errada porque a reta 2 não passa por $(-1,0)$ e $(0,1)$. Para $(-1,0)$: $-1 = t \Rightarrow t = -1$, mas $0 = 3(-1) + 2 = -1$, o que é falso. A reta 2 corresponde ao terceiro par de pontos.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A sequência 2 – 1 – 4 – 3 está errada porque a reta 2 não passa por (1,0) e (0,-2). Para (1,0): $1 = t \Rightarrow t = 1$, mas $0 = 3(1) + 2 = 5$, o que é falso. A reta 2 corresponde ao terceiro par de pontos.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A sequência 2 – 4 – 1 – 3 está errada porque a reta 2 não passa por (1,0) e (0,-2), e a reta 4 não passa por $(-1,0)$ e $(0,1)$.

Gabarito: letra B