Matemática · FGV · 2024 | Questão sqc-fg085986

Geometria Analítica: Circunferência, Pitágoras e Distância no Espaço

Gabarito: letra E. As três afirmativas estão corretas: a equação reduzida da circunferência é $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ ; o teorema de Pitágoras aplica-se exclusivamente a triângulos retângulos; e a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional é obtida por uma dupla aplicação do teorema de Pitágoras. A questão é conceitual e exige reconhecer a interligação entre esses tópicos da geometria analítica.

A equação reduzida da circunferência é a representação algébrica do lugar geométrico dos pontos que distam exatamente $r$ do centro $(h,k)$ . Ela decorre diretamente da fórmula da distância entre dois pontos no plano: eleva-se ao quadrado para eliminar a raiz, obtendo-se $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ . O material de apoio confirma essa forma ao apresentar a equação como "a equação reduzida de uma circunferência de centro $(x_0,y_0)$ e raio $r$ ".

O teorema de Pitágoras é um dos resultados mais fundamentais da geometria euclidiana: em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. A afirmativa II está correta ao afirmar que ele se aplica apenas a triângulos retângulos — essa é a condição necessária e suficiente para a relação $a^2+b^2=c^2$ valer. Em triângulos não retângulos, a relação correta é dada pela lei dos cossenos, que generaliza Pitágoras.

A distância entre dois pontos no espaço tridimensional é uma extensão natural do teorema de Pitágoras. Dados $P_1=(x_1,y_1,z_1)$ e $P_2=(x_2,y_2,z_2)$ , a distância é:

d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}

Essa fórmula é obtida aplicando Pitágoras duas vezes: primeiro no plano $xy$ para achar a distância projetada, depois no plano vertical que contém essa projeção e a diferença em $z$ . Portanto, a afirmativa III está correta.

Item	Afirmação	Veredito
I	Equação reduzida da circunferência: $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$	✅ V
II	Pitágoras aplica-se apenas a triângulos retângulos	✅ V
III	Distância no espaço 3D deriva de Pitágoras	✅ V
Conclusão	Todos os itens corretos → Letra E	✅ V

Item I — ✅ Correto

A equação geral (reduzida) de uma circunferência com centro $(h,k)$ e raio $r$ é exatamente $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ . É a forma mais direta de representar uma circunferência na geometria analítica, e o material de apoio a apresenta como tal. Não há erro aqui.

Item II — ✅ Correto

O teorema de Pitágoras é válido somente para triângulos retângulos. Essa é a definição clássica: a relação $a^2+b^2=c^2$ só se verifica quando o triângulo possui um ângulo reto. A afirmativa está correta.

Item III — ✅ Correto

A fórmula da distância no espaço tridimensional é derivada do teorema de Pitágoras, aplicado sucessivamente. A generalização para $n$ dimensões segue o mesmo princípio. A afirmativa está correta.

Conclusão: os itens I, II e III estão corretos, portanto a alternativa correta é a letra E.

NÃO CAIA NESSA!

A banca poderia tentar confundir o candidato afirmando que a equação geral da circunferência é $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ (que é a forma geral expandida) ou que Pitágoras se aplica a qualquer triângulo. Aqui, porém, todas as afirmativas são verdadeiras — a pegadinha seria marcar uma alternativa que excluísse algum item correto, como a letra C (I e III), esquecendo que o item II também é verdadeiro. Fique atento: quando o enunciado diz "apenas", confira cada item com cuidado.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de geometria analítica, memorize as três formas de representar uma circunferência: reduzida $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ , geral $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ , e a relação com a distância entre pontos. E lembre-se: a distância no espaço é uma extensão direta de Pitágoras — se você souber a fórmula no plano, a do espaço é só adicionar o termo $(z_2-z_1)^2$ .

Gabarito: letra E

Questão de Matemática — Geometria Analítica — FGV 2024

Geometria Analítica: Circunferência, Pitágoras e Distância no Espaço

Item I — ✅ Correto

Item II — ✅ Correto

Item III — ✅ Correto