Questão de Matemática — Matrizes — FGV 2024

Operações com matrizes

Gabarito: letra C. A transposição de uma matriz consiste, de fato, em inverter linhas com colunas: se $A = (a_{ij})$, então $A^T = (a_{ji})$. As demais alternativas trazem erros conceituais clássicos: a matriz identidade não tem todos os elementos iguais a 1, a multiplicação de matrizes não é comutativa, o determinante não é sempre inteiro e a inversa não coincide com a transposta em geral.

A questão cobra os conceitos básicos de matrizes: tipos especiais (identidade), operações (multiplicação, transposição) e propriedades (determinante, inversa). Vamos revisar cada um para fixar o que a banca espera.

Matriz identidade é a matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e todos os demais são iguais a 0. Ela funciona como o elemento neutro da multiplicação: $A \cdot I = I \cdot A = A$.

Multiplicação de matrizes só é possível quando o número de colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda. A propriedade comutativa não vale em geral: $AB \neq BA$ (quando ambos os produtos existem). O que vale é a associativa, a distributiva e a existência do elemento neutro.

Transposição troca linhas por colunas: a linha $i$ vira a coluna $i$. Propriedades: $(A^T)^T = A$, $(A+B)^T = A^T + B^T$, $(AB)^T = B^T A^T$.

Determinante é um número associado a matrizes quadradas, mas pode ser qualquer número real (não necessariamente inteiro). Por exemplo, $\det\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = 1\cdot4 - 2\cdot3 = -2$ (inteiro), mas $\det\begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix} = 0.25$ (não inteiro).

Matriz inversa $A^{-1}$ existe apenas para matrizes quadradas com determinante não nulo e satisfaz $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$. A inversa não é, em geral, igual à transposta. Isso só ocorre para matrizes ortogonais, que satisfazem $A^T = A^{-1}$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A matriz identidade é quadrada, mas não possui todos os elementos iguais a 1. Ela tem 1 apenas na diagonal principal e 0 fora dela. A afirmação confunde identidade com a matriz unitária (que tem todos os elementos iguais a 1) ou com a matriz escalar (diagonal com todos os elementos iguais a um mesmo valor).

Alternativa B — ❌ Incorreta

A multiplicação de matrizes não é comutativa em geral. Exemplo: $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ e $B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$; $AB = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$ e $BA = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$, que são diferentes. A comutatividade só vale em casos particulares (por exemplo, quando uma das matrizes é a identidade ou um múltiplo escalar dela).

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A transposição inverte linhas com colunas: se $A$ tem dimensão $m \times n$, então $A^T$ tem dimensão $n \times m$, e o elemento $a_{ij}$ passa a ocupar a posição $a_{ji}$. É exatamente o que a alternativa afirma.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O determinante é um número real, não necessariamente inteiro. Pode ser fracionário, irracional etc. A afirmação é falsa.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A inversa de uma matriz não é, em geral, a sua transposta. A igualdade $A^{-1} = A^T$ só vale para matrizes ortogonais. Para uma matriz qualquer, a inversa é calculada por outros métodos (como a matriz adjunta ou escalonamento).

Gabarito: letra C