Questão de Matemática — Matrizes — FGV 2024

Diagonalização de matrizes

Gabarito: letra B. Uma matriz é diagonalizável se, e somente se, ela for simétrica — essa é a condição suficiente e necessária para a diagonalização, conforme o teorema espectral da Álgebra Linear. As demais alternativas apresentam afirmações falsas sobre o processo de diagonalização.

A diagonalização de uma matriz é o processo de encontrar uma matriz diagonal $D$ e uma matriz invertível $P$ tais que $A = PDP^{-1}$. A matriz diagonal $D$ contém os autovalores de $A$ em sua diagonal principal, e as colunas de $P$ são os autovetores correspondentes. Esse processo é fundamental em diversas aplicações, como na resolução de sistemas de equações diferenciais e na análise de estabilidade de sistemas dinâmicos.

O teorema espectral estabelece que uma matriz é diagonalizável se, e somente se, ela for simétrica. Uma matriz simétrica é aquela em que $a_{ij} = a_{ji}$ para todos os elementos, ou seja, a matriz é igual à sua transposta. Essa condição garante que a matriz possui um conjunto completo de autovetores ortogonais, o que permite a diagonalização.

É importante distinguir a diagonalização de outros conceitos relacionados, como a matriz diagonal (que é uma matriz quadrada com elementos não nulos apenas na diagonal principal) e a matriz identidade (que é uma matriz diagonal com todos os elementos da diagonal principal iguais a 1). A diagonalização não altera os autovalores da matriz, mas transforma a matriz em uma forma mais simples de trabalhar.

A pegadinha desta questão está em confundir a diagonalização com outras propriedades de matrizes, como a igualdade entre a matriz original e a diagonalizada, ou a ideia de que toda matriz é diagonalizável. A banca explora o erro comum de achar que qualquer matriz pode ser diagonalizada, quando na verdade apenas as matrizes simétricas possuem essa propriedade garantida.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que toda matriz é diagonalizável. Isso é falso, pois existem matrizes que não são diagonalizáveis, como as matrizes que possuem autovalores repetidos e não possuem autovetores suficientes para formar uma base. A condição correta é que a matriz seja simétrica.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a afirmativa correta. O teorema espectral garante que uma matriz é diagonalizável se, e somente se, ela for simétrica. Isso significa que toda matriz simétrica pode ser diagonalizada, e toda matriz diagonalizável é simétrica.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a matriz diagonal resultante da diagonalização tem todos os elementos iguais. Isso é falso, pois a matriz diagonal $D$ contém os autovalores da matriz original, que podem ser diferentes entre si. A matriz diagonal pode ter elementos distintos na diagonal principal.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a diagonalização só é possível para matrizes de qualquer ordem. Isso é falso, pois a diagonalização é possível apenas para matrizes quadradas, ou seja, matrizes com o mesmo número de linhas e colunas. Além disso, nem toda matriz quadrada é diagonalizável, apenas as simétricas.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que a matriz diagonalizada é igual à matriz original. Isso é falso, pois a diagonalização transforma a matriz original em uma matriz diagonal, que é diferente da original, a menos que a matriz original já seja diagonal. A relação entre elas é dada por $A = PDP^{-1}$, onde $D$ é a matriz diagonal.

Gabarito: letra B