Questão de Matemática — Geometria Analítica — FGV 2024

Dilatação e contração na Geometria Analítica

Gabarito: letra A. A matriz de dilatação que amplia uma figura em duas vezes em relação à origem é a matriz diagonal com o fator de escala 2 em ambas as entradas da diagonal principal, ou seja, $\begin{bmatrix}2 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}$. Essa matriz, quando multiplicada por um vetor posição $(x, y)$, produz $(2x, 2y)$, dobrando as coordenadas e, portanto, ampliando a figura uniformemente.

Na Geometria Analítica, transformações lineares no plano são representadas por matrizes $2 \times 2$. A dilatação (ou homotetia) em relação à origem é uma transformação que multiplica todas as distâncias de um ponto à origem por um fator constante $k$. Se $k > 1$, temos uma ampliação; se $0 < k < 1$, uma redução. A matriz que representa essa transformação é sempre da forma $\begin{bmatrix}k & 0 \\ 0 & k\end{bmatrix}$, ou seja, uma matriz escalar com o fator $k$ na diagonal principal e zeros fora dela. Isso porque, ao multiplicar um vetor $(x, y)$ por essa matriz, obtemos $(kx, ky)$ — cada coordenada é multiplicada pelo mesmo fator, preservando a forma da figura e apenas alterando seu tamanho.

A banca explora aqui a confusão entre a matriz de dilatação (que tem o fator repetido na diagonal) e outras matrizes que representam transformações diferentes, como a identidade (que não altera nada), a reflexão (que inverte sinais) ou a rotação (que mistura as coordenadas). A pegadinha está em reconhecer que a dilatação uniforme exige que ambas as coordenadas sejam multiplicadas pelo mesmo fator — se apenas uma coordenada fosse multiplicada, teríamos uma deformação (alongamento/compressão em um eixo), não uma dilatação uniforme.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A matriz $\begin{bmatrix}2 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}$ é a matriz escalar com fator 2. Multiplicando um ponto $(x, y)$ por ela, obtemos $(2x, 2y)$: cada coordenada é dobrada, o que amplia a figura em duas vezes em relação à origem, exatamente como pede o enunciado. É a representação canônica da dilatação de fator 2.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A matriz $\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{bmatrix}$ não é uma dilatação. Ela é uma matriz que soma as coordenadas: $\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x + y \\ x + y\end{bmatrix}$. Isso não multiplica as coordenadas por um fator constante — na verdade, ela colapsa o plano na reta $y = x$, o que não é uma transformação de escala, mas uma projeção (não invertível, determinante zero).

Alternativa C — ❌ Incorreta

A matriz $\begin{bmatrix}0 & 2 \\ 2 & 0\end{bmatrix}$ troca as coordenadas e as multiplica por 2: $\begin{bmatrix}0 & 2 \\ 2 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2y \\ 2x\end{bmatrix}$. Isso representa uma reflexão em relação à reta $y = x$ seguida de uma dilatação, mas não é uma dilatação pura — ela inverte a orientação da figura (o determinante é $-4$, negativo), o que não ocorre numa dilatação uniforme.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A matriz $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ é a matriz identidade. Ela não altera o ponto: $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}$. Ou seja, representa a transformação que deixa a figura inalterada (fator de escala 1), não uma ampliação.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A matriz $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}$ multiplica apenas a coordenada $y$ por 2, mantendo $x$ inalterado: $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x \\ 2y\end{bmatrix}$. Isso estica a figura apenas na direção vertical, deformando-a — não é uma dilatação uniforme, mas uma "dilatação direcional" (ou cisalhamento/alongamento em um eixo). Para ser uma dilatação em relação à origem, o fator deve ser o mesmo em ambas as direções.

Gabarito: letra A