Matemática · FGV · 2024 | Questão sqc-fg085992

GabaritoC — O produto de duas matrizes pode ter dimensões diferentes da matriz original.

Multiplicação de Matrizes

Gabarito: letra C. O produto de duas matrizes, quando existe, tem dimensões dadas pelo número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda — ou seja, pode ter dimensões diferentes das matrizes originais. Por exemplo, o produto de uma matriz $2 \times 3$ por uma $3 \times 4$ resulta em uma matriz $2 \times 4$ , que não coincide com nenhuma das dimensões das matrizes de partida.

A multiplicação de matrizes é uma operação que não é comutativa em geral, não é sempre possível (exige compatibilidade de dimensões) e não produz necessariamente uma matriz quadrada. A condição para existir o produto $A \cdot B$ é que o número de colunas de $A$ seja igual ao número de linhas de $B$ ; o resultado terá o número de linhas de $A$ e o número de colunas de $B$ . Essa é a regra central que a questão explora.

A banca FGV, em questões de matrizes, costuma testar exatamente esses pontos: a não comutatividade, a condição de existência do produto e a dimensão do resultado. Aqui, a alternativa C é a única que descreve corretamente uma propriedade geral da multiplicação de matrizes.

Multiplicação de matrizes: Condição de existência (Colunas de A = linhas de B); Dimensão do resultado (Linhas de A × colunas de B); Propriedades (Não é comutativa, Não é sempre possível, Não gera sempre matriz quadrada)

Critério	A) Comutativa	B) Só quadrada × quadrada	C) Dimensão do produto	D) Sempre possível	E) Produto sempre quadrado
Verdadeiro?	Não	Não	Sim	Não	Não
Regra geral	$A \cdot B \neq B \cdot A$ em geral	$A_{m \times n} \cdot B_{n \times p}$ com $p \neq n$ é válido	Resultado $m \times p$ , diferente de $m \times n$ e $n \times p$	Exige colunas de (A) = linhas de (B)	Só se (m = p), não garantido
Exemplo	$(A_{2 \times 3} \cdot B_{3 \times 2} \neq B_{3 \times 2} \cdot A_{2 \times 3})$	$(A_{2 \times 2} \cdot B_{2 \times 3} = C_{2 \times 3})$	$(A_{2 \times 3} \cdot B_{3 \times 4} = C_{2 \times 4})$	$A_{2 \times 3} \cdot B_{2 \times 2}$ não existe	$A_{2 \times 3} \cdot B_{3 \times 4} = C_{2 \times 4}$ (não quadrada)

Alternativa A — ❌ Incorreta

A multiplicação de matrizes não é comutativa em geral. Para matrizes $A$ e $B$ , normalmente $A \cdot B \neq B \cdot A$ , e muitas vezes um dos produtos nem existe. A comutatividade é uma propriedade da multiplicação de números reais, não de matrizes.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Uma matriz quadrada pode ser multiplicada por qualquer matriz cujo número de linhas seja igual ao número de colunas da primeira — não apenas por outra matriz quadrada. Por exemplo, uma matriz $2 \times 2$ pode ser multiplicada por uma matriz $2 \times 3$ , resultando em uma matriz $2 \times 3$ .

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O produto de duas matrizes, quando existe, tem dimensões dadas pelo número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda. Assim, o produto pode ter dimensões diferentes das matrizes originais. Por exemplo, $A_{2 \times 3} \cdot B_{3 \times 4} = C_{2 \times 4}$ , que não é $2 \times 3$ nem $3 \times 4$ .

Alternativa D — ❌ Incorreta

A multiplicação de matrizes não é sempre possível. Para que $A \cdot B$ exista, o número de colunas de $A$ deve ser igual ao número de linhas de $B$ . Se essa condição não for satisfeita, o produto não existe.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O produto de duas matrizes não é sempre uma matriz quadrada. O resultado é uma matriz com o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda; só será quadrada se esses números forem iguais, o que não é garantido.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre a multiplicação de números (comutativa e sempre possível) e a multiplicação de matrizes (não comutativa e condicionada à compatibilidade de dimensões). Muitos candidatos marcam a alternativa A ou D por analogia com a aritmética, mas a regra matricial é diferente. Fique atento: a condição de existência é "colunas da primeira = linhas da segunda", e o resultado tem "linhas da primeira × colunas da segunda".

PEGA ESSA DICA!

Para verificar se o produto $A \cdot B$ existe, escreva as dimensões lado a lado: $m \times n$ e $n \times p$ . Se os números internos coincidirem, o produto existe e terá dimensão $m \times p$ . Esse é o método rápido para resolver questões de existência e dimensão do produto.

Gabarito: letra C