Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg086170

Variância relativa e coeficiente de variação

Gabarito: letra E. A variância relativa é o quadrado do coeficiente de variação (CV = desvio padrão / média). Se a média aumentou 60% (fator 1,6) e a variância quadruplicou (fator 4), o desvio padrão duplicou (fator 2). Assim, o novo CV é 2/1,6 = 1,25 do original, ou seja, aumentou 25%.

A questão explora a relação entre medidas de dispersão absolutas e relativas. A variância relativa, também chamada de coeficiente de variação ao quadrado, é uma medida de dispersão relativa que expressa a variabilidade em relação à média. Ela é definida como:

VR = \frac{\sigma^2}{\mu^2}

Onde $\sigma^2$ é a variância e $\mu$ é a média. Essa medida é adimensional e permite comparar a dispersão de conjuntos de dados com médias diferentes.

Para resolver a questão, vamos acompanhar a evolução de cada componente:

Média: aumentou 60%, então a nova média é $\mu' = 1,6 \mu$ .
Variância: quadruplicou, então a nova variância é $\sigma'^2 = 4\sigma^2$ .
Desvio padrão: como é a raiz quadrada da variância, o novo desvio padrão é $\sigma' = \sqrt{4\sigma^2} = 2\sigma$ , ou seja, duplicou.

Agora, calculamos a nova variância relativa:

VR' = \frac{\sigma'^2}{\mu'^2} = \frac{4\sigma^2}{(1,6\mu)^2} = \frac{4\sigma^2}{2,56\mu^2} = 1,5625 \cdot \frac{\sigma^2}{\mu^2} = 1,5625 \cdot VR

O fator 1,5625 corresponde a um aumento de 56,25%. No entanto, o gabarito oficial é a letra E (aumentou 25%). Isso indica que a banca considerou a variância relativa como o quadrado do coeficiente de variação, mas aplicou um raciocínio diferente. Vamos refazer:

O coeficiente de variação é $CV = \sigma / \mu$ . O novo coeficiente é:

CV' = \frac{\sigma'}{\mu'} = \frac{2\sigma}{1,6\mu} = 1,25 \cdot \frac{\sigma}{\mu} = 1,25 \cdot CV

Ou seja, o coeficiente de variação aumentou 25%. A variância relativa, sendo o quadrado do CV, seria $1,25^2 = 1,5625$ , o que daria um aumento de 56,25%. Porém, a banca tratou a "variância relativa" como sinônimo de coeficiente de variação, o que é uma imprecisão conceitual. A resposta oficial considera que a variância relativa aumentou 25%, que é exatamente o aumento do CV.

Variância relativa e coeficiente de variação — só Média: 1,6; só Variância: 4; Média∩Variância: 2

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a variância relativa não se alterou. Isso só ocorreria se a média e o desvio padrão variassem na mesma proporção, o que não é o caso (média ×1,6 e desvio ×2).

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que quadruplicou. Isso seria verdade se a média não tivesse mudado, mas como a média aumentou, a dispersão relativa cresce menos que a absoluta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que duplicou. Isso ocorreria se a média também duplicasse, mas ela aumentou apenas 60%.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que aumentou 125%. Esse valor seria o aumento do desvio padrão (que duplicou, ou seja, +100%) somado a algo, mas não corresponde a nenhuma medida correta.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A variância relativa, interpretada como o coeficiente de variação, aumentou 25%. O novo CV é 1,25 vezes o original, pois o desvio padrão duplicou (fator 2) e a média aumentou 60% (fator 1,6), resultando em 2/1,6 = 1,25.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre variância relativa e coeficiente de variação. Muitos candidatos calculam a nova variância relativa como $4/1,6^2 = 1,5625$ e marcam "aumentou 56,25%", que nem está nas opções. A banca, no entanto, considerou a variância relativa como o próprio CV, obtendo 25%. Fique atento: em questões da FGV, "variância relativa" pode ser tratada como sinônimo de coeficiente de variação.

Gabarito: letra E