Questão de Matemática — Função Exponencial — FGV 2024
Matemática›Função Exponencial
Código
fg086270
Banca
FGV
Órgão
INPE
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Tecnologista Pleno I - Desenvolvimento ou Aprimoramento de Sistema de Assimilação de Dados nas Componentes do Sistema Terrestre e de Aplicações para Monitoramento do Processo de Assimilação
Uma empresa faz pesquisas na área ambiental. Sabe-se que o tempo entre secas (em anos) em determinada região no Brasil segue uma distribuição exponencial com parâmetro β.Considere uma amostra de tamanho 5 cujos elementos são 15, 18, 20, 22 e 25.Aplicando o método da máxima verossimilhança, o valor da estimativa de β é
A0,01.
B0,03.
C0,05.
D0,10.
E0,12.
Revelar gabarito e comentário▾
GabaritoC — 0,05.
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Resolução
Gabarito: letra C — a conta chega a 0,05 (alternativa C).
A ideia por trás
A distribuição exponencial modela o tempo entre eventos em um processo de Poisson, como o tempo entre secas. Ela tem um parâmetro β (taxa de ocorrência) e sua média é 1/β: quanto maior β, menor o tempo médio entre eventos. A função densidade é f(x) = β·e^(−βx) para x ≥ 0.
O método da máxima verossimilhança escolhe o valor do parâmetro que torna os dados observados os mais prováveis. Para uma amostra aleatória, a verossimilhança é o produto das densidades, e maximizá-la equivale a maximizar o logaritmo dela. Derivando e igualando a zero, chega-se ao estimador β̂ = 1/x̄, ou seja, o inverso da média amostral.
Nesta questão, precisamos calcular a média amostral dos cinco tempos e depois inverter esse valor para obter β̂.
O que a questão dá
amostra: 15, 18, 20, 22, 25
tamanho da amostra: n = 5
O que queremos: a estimativa de máxima verossimilhança do parâmetro β da distribuição exponencial
Passo 1 — Calcular a soma dos tempos
Para encontrar a média amostral, primeiro precisamos somar todos os valores observados. A média é a soma dividida pelo número de elementos.
Por que esta fórmula: A soma é simplesmente a adição de todos os dados da amostra.
De onde vem cada valor: = enunciado: 15, 18, 20, 22, 25 · = enunciado: 5
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de somar algum valor ou errar a adição.
Passo 2 — Calcular a média amostral
A média amostral é o tempo médio entre secas na amostra. Ela é necessária porque o estimador de máxima verossimilhança de β é o inverso da média.
Por que esta fórmula: A média aritmética é a soma dos valores dividida pelo número de observações.
De onde vem cada valor: = passo 1: 100 · = enunciado: 5
NÃO CAIA NESSA!
Dividir pela soma em vez de pelo número de elementos.
Passo 3 — Inverter a média para obter β
Na distribuição exponencial, a média é 1/β, então β é o inverso da média. O estimador de máxima verossimilhança é β̂ = 1/x̄.
Por que esta fórmula: Derivando a log-verossimilhança e igualando a zero, obtém-se β̂ = n/Σx = 1/x̄.
De onde vem cada valor: = passo 2: 20
NÃO CAIA NESSA!
Confundir β com a média e marcar 20, ou calcular 1/β como 20.