Questão de Algoritmos e Estrutura de Dados — Estrutura de Dados — FGV 2024
Algoritmos e Estrutura de Dados›Estrutura de Dados
Código
fg086289
Banca
FGV
Órgão
INPE
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Tecnologista Pleno I - Desenvolvimento ou Aprimoramento de Sistema de Assimilação de Dados nas Componentes do Sistema Terrestre e de Aplicações para Monitoramento do Processo de Assimilação
A utilização de Filtros de Kalman clássicos (Kalman Filters - KF) ou estendidos (Extended Kalman Filters - EKF) para a assimilação de dados envolve dificuldades práticas.Com relação a essas dificuldades, analise as afirmativas a seguir.I. O EKF é o método otimizado para a assimilação de dados sequencial de um modelo dinâmico linear n-dimensional, sendo o KF apropriado apenas para sistemas unidimensionais.II. O uso do KF e do EKF em modelos dinâmicos que contam com vetores de estados com muitas dimensões requer alta capacidade computacional e de armazenamento, tornando-os práticos apenas para modelos simplificados, de baixa dimensionalidade.III. A linearização de modelos não lineares envolve a aproximação de funções matemáticas com o truncamento de séries, o que pode gerar erros de propagação de covariâncias, especialmente em modelos de alta dimensionalidade.Está correto o que se afirma em
AI, apenas.
BI e II, apenas.
CI e III, apenas.
DII e III, apenas.
EI, II e III.
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GabaritoD — II e III, apenas.
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Filtros de Kalman (KF e EKF): aplicações e dificuldades
Gabarito: letra D (apenas II e III estão corretas). A afirmativa I é falsa porque inverte o escopo de cada filtro: o KF é o método ótimo para sistemas lineares de qualquer dimensão (n-dimensional), enquanto o EKF é uma extensão para sistemas não lineares. Já as afirmativas II e III descrevem corretamente limitações práticas: a alta dimensionalidade torna o custo computacional proibitivo (II) e a linearização por séries de Taylor introduz erros que se propagam na covariância (III).
A questão testa o conhecimento das características e limitações dos Filtros de Kalman clássico (KF) e estendido (EKF), comuns em assimilação de dados e estimação de estados.
Afirmativa
Conteúdo
Correção
Justificativa
I
O EKF é o método otimizado para modelos lineares n-dimensionais; o KF é apropriado apenas para sistemas unidimensionais.
❌ Incorreta
Inverte os escopos: o KF é ótimo para sistemas lineares de qualquer dimensão; o EKF é para sistemas não lineares.
II
KF e EKF em modelos com vetores de estado de muitas dimensões exigem alta capacidade computacional e de armazenamento, sendo práticos apenas para modelos simplificados de baixa dimensionalidade.
✅ Correta
A complexidade é O(n³) devido a operações matriciais, inviabilizando aplicações de alta dimensionalidade sem simplificações.
III
A linearização de modelos não lineares por truncamento de séries pode gerar erros de propagação de covariâncias, especialmente em modelos de alta dimensionalidade.
✅ Correta
A aproximação por séries de Taylor introduz erros que se propagam na matriz de covariância, agravados em altas dimensões.
Filtros de Kalman
1KF (linear)
Ótimo para qualquer dimensão
Custo O(n³) em alta dimensão
2EKF (não linear)
Linearização por séries de Taylor
Erro de propagação da covariância
Custo O(n³) em alta dimensão
3Limitação comum
Alta dimensionalidade → inviável
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Afirmativa I — ❌ Incorreta
O enunciado afirma que "o EKF é o método otimizado para a assimilação de dados sequencial de um modelo dinâmico linear n-dimensional, sendo o KF apropriado apenas para sistemas unidimensionais". Isso é o inverso do correto. O KF (Filtro de Kalman) é o estimador ótimo recursivo para sistemas lineares de qualquer dimensionalidade (n-dimensional). Já o EKF (Filtro de Kalman Estendido) foi desenvolvido para lidar com modelos não lineares por meio de linearização local. Portanto, a afirmativa troca as aplicações: KF serve para modelos lineares (qualquer dimensão) e EKF para não lineares.
Afirmativa II — ✅ Correta
A afirmativa diz: "O uso do KF e do EKF em modelos dinâmicos que contam com vetores de estados com muitas dimensões requer alta capacidade computacional e de armazenamento, tornando-os práticos apenas para modelos simplificados, de baixa dimensionalidade." Isso é verdadeiro. A complexidade computacional do KF é da ordem de devido à inversão da matriz de covariância do estado () e às multiplicações matriciais. Em modelos com milhares de dimensões (ex.: previsão do tempo, oceanografia), essa carga torna a aplicação direta inviável, exigindo simplificações ou filtros de subespaço (ex.: EnKF).
Afirmativa III — ✅ Correta
"A linearização de modelos não lineares envolve a aproximação de funções matemáticas com o truncamento de séries, o que pode gerar erros de propagação de covariâncias, especialmente em modelos de alta dimensionalidade." Correto. O EKF lineariza a dinâmica e a observação usando a série de Taylor de primeira ordem, truncando os termos de ordem superior. Isso introduz erros de aproximação que, em modelos com forte não linearidade e/ou alta dimensionalidade, podem degradar significativamente a precisão das estimativas de covariância, podendo até levar à divergência do filtro.
NÃO CAIA NESSA!
A banca inverteu a relação entre KF e EKF na afirmativa I. Não confunda: KF é para sistemas lineares (qualquer dimensão); EKF é para não lineares. A dimensão não define qual usar; ela está relacionada ao custo computacional (II).
Conclusão: apenas as afirmativas II e III estão corretas. O gabarito é a letra D.