Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg086305

Inferência Bayesiana: Distribuição a Posteriori

Gabarito: letra C. A distribuição a posteriori de um parâmetro $\lambda$ de uma distribuição de Poisson, dado uma distribuição a priori Gama( $\alpha, \beta$ ), é também uma distribuição Gama, com parâmetros atualizados pela amostra: $\alpha' = \sum X_i + \alpha = y + \alpha$ e $\beta' = \frac{\beta}{n\beta + 1}$ .

Na inferência bayesiana, o objetivo é atualizar o conhecimento sobre um parâmetro $\lambda$ após a observação de dados. A distribuição a posteriori é proporcional ao produto da verossimilhança dos dados pela distribuição a priori: $f(\lambda|x) \propto L(\lambda|x) \cdot \pi(\lambda)$ .

Para uma amostra de tamanho $n$ de uma Poisson( $\lambda$ ), a verossimilhança é $L(\lambda) \propto \lambda^{\sum X_i} e^{-n\lambda} = \lambda^y e^{-n\lambda}$ . Com uma priori Gama( $\alpha, \beta$ ), onde $\pi(\lambda) \propto \lambda^{\alpha-1} e^{-\lambda/\beta}$ , o produto resulta em:

f(\lambda|x) \propto \lambda^{y+\alpha-1} e^{-\lambda(n + 1/\beta)} = \lambda^{(y+\alpha)-1} e^{-\lambda \left( \frac{n\beta+1}{\beta} \right)}

Esta é a forma de uma distribuição Gama com novos parâmetros. O primeiro parâmetro (forma) torna-se $y + \alpha$ . O segundo parâmetro (escala) é o inverso do coeficiente de $\lambda$ no expoente, ou seja, $\frac{\beta}{n\beta+1}$ .

Inferência Bayesiana (Poisson × Gama): Verossimilhança (Poisson) (L(λ) ∝ λ^y · e^(−nλ)); Priori (Gama) (π(λ) ∝ λ^(α−1) · e^(−λ/β)); Posteriori (Gama conjugada) (α' = y + α, β' = β / (nβ + 1))

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a posteriori é uma Poisson. A distribuição a posteriori é uma Gama, pois a Gama é a distribuição conjugada para o parâmetro de taxa de uma Poisson.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Sugere uma Poisson com parâmetro $n\lambda$ . O parâmetro da posteriori não é uma Poisson, mas sim uma Gama com parâmetros ajustados pela soma das observações e pelo tamanho da amostra.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ Gabarito

Corresponde exatamente aos parâmetros da distribuição Gama a posteriori: $\alpha' = y + \alpha$ e $\beta' = \frac{\beta}{n\beta+1}$ .

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta um sinal de subtração incorreto no parâmetro de forma ( $y - \alpha$ ) e no denominador da escala ( $n\beta - 1$ ), o que não condiz com a atualização bayesiana.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Propõe parâmetros que não refletem a atualização correta da verossimilhança com a priori, misturando termos de forma que não resulta na distribuição conjugada esperada.

PEGA ESSA DICA!

Em problemas de inferência bayesiana, sempre verifique se a distribuição a priori é conjugada à verossimilhança. Se for, a posteriori pertencerá à mesma família da priori, facilitando o cálculo dos novos parâmetros sem a necessidade de resolver integrais complexas.

Gabarito: letra C