Questão de Estatística — Propriedades dos estimadores — FGV 2024

Propriedades dos estimadores: não tendenciosidade e eficiência

Gabarito: letra A. As propriedades mais desejáveis de um bom estimador são a não tendenciosidade (esperança do estimador igual ao parâmetro populacional) e a variância mínima (eficiência), pois juntas garantem que o estimador seja, em média, correto e com a menor dispersão possível entre os estimadores não viesados. Essa é a definição clássica de estimador eficiente, que combina as duas qualidades.

Na teoria da estimação, um estimador ideal deve reunir várias propriedades, mas as duas mais enfatizadas nos concursos — e que aparecem na alternativa correta — são exatamente a não tendenciosidade e a eficiência (variância mínima). Vamos entender cada uma delas e por que as outras combinações apresentadas nas alternativas não são as "mais desejáveis" no sentido que a banca cobra.

O que é cada propriedade?

• Não tendenciosidade (não viesado, não viciado): o estimador $\hat{\theta}$ é não tendencioso quando sua esperança é igual ao parâmetro populacional: $E(\hat{\theta}) = \theta$. Em outras palavras, em média, o estimador acerta o alvo — não há erro sistemático (viés). Exemplos clássicos: a média amostral $\bar{X}$ é não tendenciosa para a média populacional $\mu$; a proporção amostral $\hat{p}$ é não tendenciosa para $p$; a variância amostral $s^2 = \frac{\sum (X_i - \bar{X})^2}{n-1}$ é não tendenciosa para $\sigma^2$.

• Eficiência (variância mínima): entre todos os estimadores não tendenciosos de um parâmetro, o mais eficiente é aquele que possui a menor variância. A média amostral, por exemplo, é o estimador não tendencioso de variância mínima para a média populacional. A eficiência relativa entre dois estimadores não tendenciosos é dada pela razão das variâncias: $\text{eficiência relativa} = \frac{Var(\hat{\theta}_1)}{Var(\hat{\theta}_2)}$.

• Consistência: o estimador é consistente se, quando o tamanho da amostra tende ao infinito, sua esperança tende ao parâmetro e sua variância tende a zero. Ou seja, com amostras cada vez maiores, o estimador converge para o valor verdadeiro. É uma propriedade assintótica (depende do tamanho da amostra).

• Suficiência: uma estatística é suficiente se captura toda a informação relevante da amostra sobre o parâmetro; nenhuma outra estatística calculada da mesma amostra fornece informação adicional. É uma propriedade sobre a "compressão" da informação, não sobre a qualidade da estimativa em si.

Por que a alternativa A é a correta?

A questão pergunta quais são as propriedades mais desejáveis de um bom estimador. Na literatura estatística clássica, o estimador ideal é aquele que é não tendencioso e de variância mínima — essa combinação define o chamado estimador eficiente (ou BLUE, no contexto de regressão). A não tendenciosidade garante que não há erro sistemático; a variância mínima garante que, entre os não tendenciosos, aquele é o mais preciso. Juntas, elas minimizam o erro quadrático médio (EQM = variância + viés²), que é a medida mais usada para avaliar a qualidade de um estimador.

As demais propriedades (consistência, suficiência) também são desejáveis, mas não são as "mais desejáveis" no sentido de definirem o estimador ótimo — a consistência é uma propriedade assintótica (só se manifesta com amostras grandes), e a suficiência é uma propriedade de redução de dados, não de qualidade da estimativa pontual.

Análise das alternativas

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa reúne exatamente as duas propriedades que definem o estimador ótimo: não tendenciosidade (esperança igual ao parâmetro) e variância mínima (eficiência). Essa combinação é a mais desejável porque garante que o estimador seja, em média, correto e com a menor dispersão possível entre os não viesados. É o conceito de estimador eficiente.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A combinação "não tendenciosidade e consistência" é verdadeira como propriedades desejáveis, mas não é a mais desejável. A consistência é uma propriedade assintótica — só se manifesta quando a amostra tende ao infinito —, enquanto a variância mínima é uma propriedade de precisão que vale para qualquer tamanho de amostra. A banca troca "variância mínima" por "consistência" para testar se o candidato sabe qual é a propriedade que define o estimador ótimo em amostras finitas.

Alternativa C — ❌ Incorreta

"Consistência e variância mínima" também são propriedades desejáveis, mas falta a não tendenciosidade, que é a mais fundamental: sem ela, o estimador pode ter variância mínima, mas estar sistematicamente errado (viesado). A variância mínima só é uma virtude quando o estimador é não tendencioso — caso contrário, um estimador viesado com variância pequena pode ter erro quadrático médio maior que um não viesado com variância maior.

Alternativa D — ❌ Incorreta

"Consistência e suficiência" não são as propriedades mais desejáveis. A suficiência é uma propriedade de redução de dados (a estatística captura toda a informação relevante), mas não garante que o estimador seja não tendencioso nem de variância mínima. A consistência, como dito, é assintótica. A combinação correta exige não tendenciosidade e eficiência.

Alternativa E — ❌ Incorreta

"Variância mínima e suficiência" também não é a combinação mais desejável. A suficiência, embora importante, não é uma propriedade de qualidade da estimativa pontual — é uma propriedade de compressão da informação. E, novamente, falta a não tendenciosidade, que é o requisito básico para que a variância mínima tenha significado.

Resumo das propriedades

Gabarito: letra A