Questão de Matemática — Funções — FGV 2024

Cálculo Numérico — Regra dos Trapézios Repetida

Gabarito: letra B. A regra dos trapézios repetida para aproximar a integral definida $A = \int_{0}^{1} f(x)dx$ com $n$ subintervalos de amplitude $h = \frac{b-a}{n}$ é dada pela fórmula $A \approx \frac{h}{2} [f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \dots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n)]$. Para $n=5$ subintervalos no intervalo $[0, 1]$, temos $h = \frac{1-0}{5} = 0,2$. Os pontos de partição são $x_0=0, x_1=0,2, x_2=0,4, x_3=0,6, x_4=0,8$ e $x_5=1,0$.

Utilizando os valores fornecidos na imagem:

• $f(x_0) = f(0) = 1,0$

• $f(x_1) = f(0,2) = 1,2$

• $f(x_2) = f(0,4) = 1,5$

• $f(x_3) = f(0,6) = 1,8$

• $f(x_4) = f(0,8) = 2,2$

• $f(x_5) = f(1,0) = 2,7$

Substituindo na fórmula: $A \approx \frac{0,2}{2} [1,0 + 2(1,2) + 2(1,5) + 2(1,8) + 2(2,2) + 2,7]$ $A \approx 0,1 [1,0 + 2,4 + 3,0 + 3,6 + 4,4 + 2,7]$ $A \approx 0,1 [17,1] = 1,71$

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 1,89 não corresponde ao cálculo da regra dos trapézios com os dados fornecidos. Provavelmente resulta de um erro na seleção dos pontos ou na aplicação dos pesos da fórmula.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ Gabarito

O valor 1,71 é o resultado exato da aplicação da regra dos trapézios repetida com $n=5$ subintervalos, conforme demonstrado pelo cálculo acima.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 1,04 é significativamente inferior ao esperado, possivelmente decorrente de uma falha na soma dos termos ou na consideração da amplitude $h$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 2,56 é superestimado, não condizendo com a média ponderada dos valores da função no intervalo dado.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 0,93 é incompatível com a magnitude dos valores da função $f(x)$, que variam de 1,0 a 2,7 no intervalo $[0, 1]$.