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Questão de Algoritmos e Estrutura de Dados — Estrutura de Dados — FGV 2024

Algoritmos e Estrutura de DadosEstrutura de Dados
Código
fg086405
Banca
FGV
Órgão
INPE
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Tecnologista Pleno I - Processamento de Alto Desempenho – PAD (HPC)
Considere uma função f(x) contínua no intervalo [a, b] e que f(a)f(b) < 0. Considere, ainda, a utilização do método da bissecção, para obtenção do zero real desta função, sabendo que o valor de xK, em cada iteração K, é dado por (aK + bK)/2.Se na primeira iteração for constatado quef(a₀) < 0, f(b₀) > 0 e f(x₀) > 0e na segunda iteraçãof(a₁) < 0, f(b₁) > 0 e f(x₁) < 0,na aplicação deste método, devem ser feitas as seguintes atribuições para os novos limites dos intervalos:
  1. Aa₁ = b₀; b₁ = a₀; a2 = b₁; e b₂ = x₁.
  2. Ba₁ = x₀; b₁ = b₀; a₂ = x₁; e b₂ = b₁.
  3. Ca₁ = a₀; b₁ = x₀; a₂ = a₁; e b₂= x₁.
  4. Da₁ = a₀; b₁ = x₀; a₂ = x₁; e b₂ = b₁.
  5. Ea₁ = b₀; b₁ = x₀; a₂ = b₁; e b₂ = x₁.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — a₁ = a₀; b₁ = x₀; a₂ = x₁; e b₂ = b₁.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Método da bissecção – atualização do intervalo

Gabarito: letra D. O método da bissecção, a cada iteração, substitui um dos extremos do intervalo pelo ponto médio, mantendo o outro extremo, de modo que o novo intervalo continue contendo a raiz. A regra é: se (f(x_K)) tem o mesmo sinal que (f(a_K)), a raiz está entre (x_K) e (b_K) → (a_{K+1}=x_K); caso contrário (mesmo sinal de (f(b_K))), a raiz está entre (a_K) e (x_K) → (b_{K+1}=x_K).

Aplicando aos dados do enunciado:

  • Na primeira iteração: (f(a_0)<0), (f(b_0)>0) e (f(x_0)>0). Como (f(x_0)>0) tem mesmo sinal de (f(b_0)), a raiz está entre (a_0) e (x_0). Logo, (a_1 = a_0) e (b_1 = x_0).

  • Na segunda iteração: (f(a_1)<0), (f(b_1)>0) e (f(x_1)<0). Agora (f(x_1)<0) tem mesmo sinal de (f(a_1)), então a raiz está entre (x_1) e (b_1). Assim, (a_2 = x_1) e (b_2 = b_1).

Portanto, as atribuições corretas são: (a_1 = a_0); (b_1 = x_0); (a_2 = x_1); (b_2 = b_1). Isto corresponde exatamente à alternativa D.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Propõe (a_1 = b_0) e (b_1 = a_0), o que inverte o intervalo inicial e não segue a regra de manter o sinal oposto entre os extremos.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Atribui (a_1 = x_0), mas o correto para a primeira iteração é (a_1 = a_0) (pois (f(x_0)) tem sinal igual a (f(b_0))).

Alternativa C — ❌ Incorreta

Na segunda iteração, atribui (a_2 = a_1) (deveria ser (x_1)) e (b_2 = x_1) (deveria ser (b_1)).

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Conforme demonstrado.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Incorreta desde a primeira iteração: (a_1 = b_0) e (b_1 = x_0) não refletem a análise de sinais.

PEGA ESSA DICA!

Lembre-se: o ponto médio (x_K) substitui o extremo que tem o mesmo sinal de (f(x_K)). Se (f(x_K)) e (f(a_K)) têm o mesmo sinal, a nova extremidade esquerda é (x_K); caso contrário, a nova extremidade direita é (x_K).

Gabarito: letra D.

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