Matemática · FGV · 2024 | Questão sqc-fg086474

Dinâmica de Sistemas — Frequências Naturais de Oscilação

Gabarito: letra C. As frequências naturais de um sistema de osciladores acoplados são obtidas resolvendo o problema de autovalores da equação matricial $M\ddot{q} + Kq = 0$ , onde a solução harmônica $q(t) = v e^{i\omega t}$ leva à equação característica $\det(K - \omega^2 M) = 0$ . Substituindo as matrizes fornecidas:

M = \begin{bmatrix} m & 0 \\ 0 & m \end{bmatrix}, \quad K = \begin{bmatrix} 3k & -k \\ -k & 3k \end{bmatrix}

O determinante da matriz $(K - \omega^2 M)$ é:

\det \begin{bmatrix} 3k - \omega^2 m & -k \\ -k & 3k - \omega^2 m \end{bmatrix} = 0

(3k - \omega^2 m)^2 - (-k)^2 = 0

(3k - \omega^2 m)^2 - k^2 = 0

Isolando o termo quadrático:

(3k - \omega^2 m)^2 = k^2 \implies 3k - \omega^2 m = \pm k

Para a primeira frequência ( $\omega_1^2$ ):

3k - \omega_1^2 m = k \implies \omega_1^2 m = 2k \implies \omega_1^2 = \frac{2k}{m}

Para a segunda frequência ( $\omega_2^2$ ):

3k - \omega_2^2 m = -k \implies \omega_2^2 m = 4k \implies \omega_2^2 = \frac{4k}{m}

Portanto, as frequências naturais ao quadrado são $\frac{2k}{m}$ e $\frac{4k}{m}$ , o que corresponde à letra C.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta as frequências angulares $\omega$ (raízes quadradas dos autovalores), mas os valores numéricos estão incorretos para o sistema dado.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Os valores $\frac{k}{m}$ e $\frac{3k}{m}$ não satisfazem a equação característica do sistema, resultando de um erro na montagem ou resolução do determinante.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Corresponde exatamente aos valores $\omega^2 = \frac{2k}{m}$ e $\omega^2 = \frac{4k}{m}$ derivados da equação característica do sistema de dois graus de liberdade.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Os valores $\frac{3k}{m}$ e $\frac{5k}{m}$ não são autovalores desta matriz de rigidez.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta valores incorretos que não correspondem à solução do problema de autovalores proposto.

PEGA ESSA DICA!

Em sistemas de osciladores acoplados, sempre monte a matriz $(K - \omega^2 M)$ e calcule o determinante. A simetria da matriz $K$ (neste caso, uma matriz circulante ou de acoplamento simples) facilita a fatoração do polinômio característico.