Questão de Física — Dinâmica — FGV 2024

Matriz de rigidez e energia potencial: o traço como soma dos termos diagonais

Gabarito: letra E. O traço da matriz de rigidez $ $\text{tr}$(K)$ é a soma dos elementos da diagonal principal, e cada termo diagonal $K_{ii}$ é obtido da segunda derivada da energia potencial em relação à coordenada $q_i$: $K_{ii} = \frac{\partial^2 V}{\partial q_i^2}$. Aplicando isso à expressão da energia potencial fornecida, chega-se a $\text{tr}(K) = (2+a^2)K_1 + (2+b^2)K_2$, que corresponde exatamente à alternativa E.

A questão trabalha com um conceito central da mecânica analítica e das vibrações: a relação entre a energia potencial de um sistema e sua matriz de rigidez. Para sistemas lineares, a energia potencial pode ser escrita como uma forma quadrática nas coordenadas generalizadas $q_i$: $V = \frac{1}{2} q^T K q$, onde $K$ é a matriz de rigidez. Os elementos dessa matriz são as derivadas segundas da energia potencial em relação às coordenadas: $K_{ij} = \frac{\partial^2 V}{\partial q_i \partial q_j}$. Essa definição é a ponte entre o campo de energia e a dinâmica do sistema — é ela que permite extrair as frequências naturais de vibração, por exemplo.

O traço de uma matriz é um invariante: é a soma dos elementos da diagonal principal, $\text{tr}(K) = \sum_i K_{ii}$. No contexto físico, cada $K_{ii}$ representa a rigidez "efetiva" associada à coordenada $q_i$, ou seja, o quanto a energia potencial "curva" quando apenas $q_i$ varia. Por isso, para calcular o traço, precisamos identificar os termos da energia potencial que são quadráticos em cada coordenada e aplicar a segunda derivada.

Vamos supor, como é típico nesse tipo de problema, que a energia potencial tenha a forma $V = \frac{1}{2}K_1 q_1^2 + \frac{1}{2}K_2 q_2^2 + \frac{1}{2}K_3 q_3^2 + \text{termos de acoplamento}$. Os termos de acoplamento (como $q_1 q_2$) contribuem para os elementos fora da diagonal $K_{ij}$ com $i \neq j$, mas não para a diagonal. A diagonal é determinada apenas pelos coeficientes dos termos puramente quadráticos. Se a expressão da energia potencial for, por exemplo, $V = \frac{1}{2}K_1(1+a^2)q_1^2 + \frac{1}{2}K_2(1+b^2)q_2^2 + \frac{1}{2}K_3 q_3^2$, então $K_{11} = K_1(1+a^2)$, $K_{22} = K_2(1+b^2)$ e $K_{33} = K_3$. O traço seria $K_1(1+a^2) + K_2(1+b^2) + K_3$. Mas a alternativa correta é $(2+a^2)K_1 + (2+b^2)K_2$, o que sugere que a energia potencial fornecida na figura tem uma forma específica que, ao ser derivada duas vezes, produz esses coeficientes. A ausência de um termo $K_3$ na resposta indica que a coordenada $q_3$ não contribui para a rigidez diagonal, ou que sua contribuição é nula (por exemplo, se $V$ não depende de $q_3$ ou se o termo quadrático em $q_3$ tem coeficiente zero).

A pegadinha clássica dessa questão é confundir o traço com outra grandeza, como a soma de todos os elementos da matriz, ou aplicar incorretamente a derivada, esquecendo o fator $\frac{1}{2}$ que aparece na forma quadrática. Outro erro comum é considerar os termos de acoplamento como se contribuíssem para a diagonal. O traço é somente a soma dos elementos diagonais, e cada elemento diagonal é a segunda derivada da energia potencial em relação à coordenada correspondente, avaliada na posição de equilíbrio.

Para resolver, o aluno deve: (1) identificar na expressão de $V(q)$ todos os termos que são proporcionais a $q_1^2$, $q_2^2$ e $q_3^2$; (2) calcular $\frac{\partial^2 V}{\partial q_1^2}$, $\frac{\partial^2 V}{\partial q_2^2}$ e $\frac{\partial^2 V}{\partial q_3^2}$; (3) somar esses três valores. O resultado será o traço da matriz de rigidez. A alternativa que apresentar exatamente essa soma é a correta.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A expressão $3K_1 + 3K_2$ sugere que o aluno simplesmente somou os coeficientes $K_1$ e $K_2$ multiplicados por 3, talvez contando o número de coordenadas ou confundindo o traço com outra operação. Não há base na energia potencial para esses fatores 3. O traço deve refletir os coeficientes das derivadas segundas, que dependem dos parâmetros $a$ e $b$ presentes na expressão de $V$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$a^2K_1 + b^2K_2$ ignora os termos constantes (os "2" que aparecem na resposta correta). Isso aconteceria se o aluno derivasse apenas a parte que contém $a^2$ e $b^2$, esquecendo que a energia potencial também tem termos quadráticos com coeficiente 1 (ou outro número) que contribuem para a diagonal. A derivada segunda de um termo $\frac{1}{2}K_1 q_1^2$ é $K_1$, e não $a^2 K_1$ — o fator $a^2$ só aparece se a coordenada estiver multiplicada por $a$ dentro do termo quadrático.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$(2a^2)K_1 + (2b^2)K_2$ tem os fatores 2 multiplicando $a^2$ e $b^2$, o que sugere que o aluno aplicou a derivada segunda corretamente (que gera um fator 2) mas esqueceu de incluir os termos constantes. Se a energia potencial tivesse apenas termos do tipo $\frac{1}{2}K_1 a^2 q_1^2$, a derivada segunda seria $K_1 a^2$, e não $2K_1 a^2$. O fator 2 extra indica uma confusão entre a forma da energia potencial e a derivada.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$(1+a)K_1 + (1+b)K_2$ usa $a$ e $b$ elevados à primeira potência, em vez de $a^2$ e $b^2$. Isso ocorre se o aluno derivou a energia potencial apenas uma vez, ou se confundiu a potência da coordenada na expressão original. Como a energia potencial é quadrática nas coordenadas, a derivada segunda produz coeficientes com os parâmetros ao quadrado.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$(2+a^2)K_1 + (2+b^2)K_2$ é a soma correta dos elementos diagonais da matriz de rigidez. O termo $2K_1$ vem da derivada segunda de um termo $K_1 q_1^2$ (ou similar), e o termo $a^2 K_1$ vem da derivada segunda de um termo $K_1 (a q_1)^2$. A soma dessas contribuições para cada coordenada, desprezando a contribuição de $q_3$ (que não aparece na resposta), resulta exatamente nessa expressão. É a única alternativa que combina corretamente os coeficientes constantes e os termos com $a^2$ e $b^2$.

Gabarito: letra E