Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg086677

Coeficiente de correlação entre X e Y

Gabarito: letra B. O coeficiente de correlação é -1/3. Ele é calculado como a razão entre a covariância e o produto dos desvios-padrão: $\rho = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$ . A covariância é obtida por $Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 18 - 5 \times 4 = -2$ , e os desvios-padrão são $\sigma_X = \sqrt{4} = 2$ e $\sigma_Y = \sqrt{9} = 3$ , resultando em $\rho = \frac{-2}{2 \times 3} = -\frac{1}{3}$ .

O coeficiente de correlação mede a força e a direção da relação linear entre duas variáveis. Ele é adimensional, sempre entre -1 e 1, e é definido como a covariância padronizada pelas variâncias. A covariância, por sua vez, captura a variabilidade conjunta: se positiva, as variáveis tendem a se mover juntas; se negativa, em direções opostas. A correlação é a versão normalizada da covariância, o que permite comparar relações entre variáveis com escalas diferentes.

A fórmula central é:

\rho(X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{E[XY] - E[X]E[Y]}{\sqrt{Var(X)} \sqrt{Var(Y)}}

Aplicando os dados do enunciado:

Covariância: $Cov(X,Y) = 18 - 5 \times 4 = 18 - 20 = -2$ .
Desvios-padrão: $\sigma_X = \sqrt{4} = 2$ ; $\sigma_Y = \sqrt{9} = 3$ .
Correlação: $\rho = \frac{-2}{2 \times 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$ .

O sinal negativo indica relação linear inversa: quando X aumenta, Y tende a diminuir. A magnitude $\frac{1}{3}$ indica uma correlação moderada fraca.

1Covariância = E[XY] − E[X]E[Y]
2Desvios: √Var(X), √Var(Y)
3ρ = Cov / (σX·σY)

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Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $-1/2$ não corresponde ao cálculo. Ele surgiria se a covariância fosse $-3$ (ou se o produto dos desvios fosse 4), mas com os dados fornecidos a covariância é $-2$ e o produto dos desvios é 6. Não há base nos dados para esse valor.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $\rho = \frac{-2}{2 \times 3} = -\frac{1}{3}$ . A alternativa espelha exatamente o resultado da fórmula, com o sinal negativo indicando correlação inversa.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Correlação zero ocorreria se a covariância fosse nula, ou seja, se $E[XY] = E[X]E[Y] = 20$ . Como $E[XY] = 18$ , há dependência linear negativa, e a correlação não é zero.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $1/3$ tem a magnitude correta, mas o sinal trocado. A covariância é negativa ( $-2$ ), portanto a correlação é negativa. A banca explora a confusão entre o sinal da covariância e o da correlação.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $1/2$ é o simétrico da alternativa A, também sem suporte nos dados. Novamente, o sinal positivo contraria a covariância negativa, e a magnitude não corresponde ao cálculo.

NÃO CAIA NESSA!

A banca troca o sinal da correlação: como $E[XY] < E[X]E[Y]$ , a covariância é negativa, e a correlação também. Candidatos que calculam a covariância corretamente, mas esquecem o sinal, caem nas alternativas D ou E. Lembre-se: o sinal da covariância é o sinal da correlação.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de correlação, siga o roteiro: (1) calcule a covariância com $Cov = E[XY] - E[X]E[Y]$ ; (2) extraia os desvios-padrão das variâncias; (3) divida. Se o resultado não bater com nenhuma alternativa, confira o sinal e a aritmética. Treine com questões que fornecem $E[XY]$ diretamente, como esta.

Gabarito: letra B