Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg086680

Transformação linear de variável aleatória normal

Gabarito: letra B. Se $X \sim N(20, 100)$ , então $Y = 2X - 10$ tem média $E(Y) = 2 \cdot 20 - 10 = 30$ e variância $Var(Y) = 2^2 \cdot 100 = 400$ , logo desvio padrão $\sqrt{400} = 20$ . A alternativa B apresenta média 30 e desvio padrão 400 — mas atenção: a banca pede "desvio padrão" e coloca o valor da variância (400) como distrator. O desvio padrão correto é 20, que não aparece em nenhuma alternativa; a resposta oficial considera 400 como o desvio padrão, o que é um erro conceitual da banca.

A questão explora duas propriedades fundamentais de transformações lineares de variáveis aleatórias:

Esperança (média): $E(aX + b) = aE(X) + b$ . Aqui, $a = 2$ e $b = -10$ , então $E(Y) = 2 \times 20 - 10 = 30$ .
Variância: $Var(aX + b) = a^2 Var(X)$ . A constante $b$ não afeta a variância; o fator $a$ entra ao quadrado. Assim, $Var(Y) = 2^2 \times 100 = 4 \times 100 = 400$ .

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância: $\sigma_Y = \sqrt{400} = 20$ . A pegadinha está em confundir variância com desvio padrão — a banca oferece 400 (que é a variância) como se fosse o desvio padrão, e nenhuma alternativa traz o valor correto 20. Isso é um erro de elaboração, mas o gabarito oficial adota 400.

1Média: E(Y) = a·E(X) + b
2Variância: Var(Y) = a²·Var(X)
3Desvio padrão: σ(Y) = |a|·σ(X)

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Alternativa A — ❌ Incorreta

A média 30 está correta, mas o desvio padrão 100 é o valor da variância de X (não de Y) e, além disso, é variância, não desvio padrão. O desvio padrão de Y é 20.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A média 30 está correta ( $E(Y) = 2 \times 20 - 10 = 30$ ). O valor 400 é a variância de Y ( $Var(Y) = 2^2 \times 100 = 400$ ), não o desvio padrão. A banca considerou 400 como desvio padrão, o que é conceitualmente incorreto — o desvio padrão seria $\sqrt{400} = 20$ . Apesar disso, é a alternativa que a banca marcou como gabarito.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A média 30 está correta, mas 200 não corresponde a nenhuma medida de dispersão de Y: nem variância (400) nem desvio padrão (20). É um distrator numérico sem fundamento.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A média 40 está errada: seria o resultado se a transformação fosse $Y = 2X + 10$ (pois $2 \times 20 + 10 = 50$ , não 40) ou se o aluno somasse a média de X com a constante (20 + 10 = 30, não 40). O valor 100 repete o erro da alternativa A (variância de X como desvio padrão).

Alternativa E — ❌ Incorreta

A média 40 está errada (mesmo erro da D). O valor 400 é a variância de Y, mas a média correta é 30, não 40.

NÃO CAIA NESSA!

A banca troca variância por desvio padrão. O candidato que calcula corretamente $Var(Y) = 400$ e acha que esse é o desvio padrão cai na alternativa B — que é o gabarito oficial, mas conceitualmente errado. O desvio padrão é $\sqrt{400} = 20$ , que não aparece nas opções. Fique atento: em questões de transformação linear, sempre pergunte se o valor pedido é variância ou desvio padrão.

NÃO CAIA NESSA!

Para transformações lineares $Y = aX + b$ , memorize: média transforma com $a$ e $b$ ; variância transforma com $a^2$ (constante some); desvio padrão transforma com $|a|$ (constante some). Se a banca pedir desvio padrão, calcule a raiz da variância — não confunda os dois.

Gabarito: letra B (com a ressalva de que o valor 400 é a variância, não o desvio padrão).