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Questão de Matemática — Probabilidade — FGV 2024

MatemáticaProbabilidade
Código
fg089313
Banca
FGV
Órgão
Prefeitura de Caraguatatuba - SP
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Procurador
Em uma caixa (A), há exatamente 3 bolas, sendo uma branca e duas pretas. Em outra caixa (B), há apenas 4 bolas, sendo uma branca e as demais pretas.Uma bola é sorteada aleatoriamente de A e colocada em B, que passa a ter 5 bolas. Em seguida, uma bola é sorteada, ao acaso, da caixa B.A probabilidade de que a bola sorteada de B seja branca é
  1. A2/15.
  2. B4/15.
  3. C2/7.
  4. D3/7.
  5. E1/3.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 4/15.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 4/15 (alternativa B).

A ideia por trás

A probabilidade mede a chance de um evento acontecer, variando de 0 (impossível) a 1 (certo). Quando um resultado depende de uma etapa anterior aleatória, usamos a probabilidade total: somamos as chances de cada caminho, multiplicando a probabilidade de cada etapa. Nesta questão, a bola transferida de A muda a composição de B, então precisamos considerar os dois cenários possíveis e somar suas contribuições.

O que a questão dá

  • Caixa A: 3 bolas (1 branca, 2 pretas)

  • Caixa B: 4 bolas (1 branca, 3 pretas)

  • Uma bola é sorteada de A e colocada em B

O que queremos: a probabilidade de a bola sorteada de B ser branca

Passo 1 — Calcular a chance de transferir branca de A

A transferência de A para B é o primeiro passo aleatório. Precisamos saber a probabilidade de cada tipo de bola transferida, pois isso altera a composição de B.

Por que esta fórmula: A probabilidade de um evento é o número de casos favoráveis dividido pelo total de casos possíveis. Aqui, há 1 bola branca entre 3 bolas na caixa A.

P(branca de A)=13P(\text{branca de A}) = \frac{1}{3}

De onde vem cada valor: 11 = enunciado: uma bola branca na caixa A · 33 = enunciado: três bolas na caixa A

P=13=1 /3P = \frac{1}{3} = \boxed{1\ /3}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir com a probabilidade de transferir preta, que é 2/3.

Passo 2 — Calcular a chance de transferir preta de A

Assim como no passo 1, precisamos da probabilidade do outro cenário possível: transferir uma bola preta.

Por que esta fórmula: Há 2 bolas pretas entre 3 na caixa A, então a probabilidade é 2/3.

P(preta de A)=23P(\text{preta de A}) = \frac{2}{3}

De onde vem cada valor: 22 = enunciado: duas bolas pretas na caixa A · 33 = enunciado: três bolas na caixa A

P=23=2 /3P = \frac{2}{3} = \boxed{2\ /3}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a soma das probabilidades dos dois cenários deve ser 1.

Passo 3 — Calcular a chance de sortear branca de B após transferir branca

Se a bola transferida for branca, a caixa B passa a ter 2 brancas e 3 pretas, totalizando 5 bolas. Precisamos da probabilidade de sortear branca nessa nova configuração.

Por que esta fórmula: A probabilidade de sortear branca é o número de bolas brancas dividido pelo total de bolas na caixa B após a transferência.

P(branca de B∣transf. branca)=25P(\text{branca de B} \mid \text{transf. branca}) = \frac{2}{5}

De onde vem cada valor: 22 = passo 1: a bola branca transferida se soma à branca original de B · 55 = enunciado: B tinha 4 bolas e recebe mais 1, totalizando 5

P=25=2 /5P = \frac{2}{5} = \boxed{2\ /5}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 1/5, esquecendo que a bola branca transferida aumenta o número de brancas.

Passo 4 — Calcular a chance de sortear branca de B após transferir preta

Se a bola transferida for preta, a caixa B fica com 1 branca e 4 pretas, totalizando 5 bolas. Precisamos da probabilidade de sortear branca nesse cenário.

Por que esta fórmula: A probabilidade de sortear branca é o número de bolas brancas dividido pelo total de bolas na caixa B após a transferência.

P(branca de B∣transf. preta)=15P(\text{branca de B} \mid \text{transf. preta}) = \frac{1}{5}

De onde vem cada valor: 11 = enunciado: a única branca original de B · 55 = enunciado: B tinha 4 bolas e recebe mais 1, totalizando 5

P=15=1 /5P = \frac{1}{5} = \boxed{1\ /5}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 2/5, confundindo com o cenário de transferir branca.

Passo 5 — Multiplicar as probabilidades de cada caminho

Cada caminho (transferir branca e sortear branca, ou transferir preta e sortear branca) tem duas etapas. A probabilidade de um caminho completo é o produto das probabilidades de cada etapa.

Por que esta fórmula: Para eventos em sequência, multiplicamos as probabilidades. Aqui, multiplicamos a probabilidade da transferência pela probabilidade de sortear branca dado aquele tipo de transferência.

P1=13⋅25,P2=23⋅15P_1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5}, \quad P_2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5}

De onde vem cada valor: 13\frac{1}{3} = passo 1 · 25\frac{2}{5} = passo 3 · 23\frac{2}{3} = passo 2 · 15\frac{1}{5} = passo 4

P1=1⋅23⋅5=215,P2=2⋅13⋅5=215P_1 = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 5} = \frac{2}{15}, \quad P_2 = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 5} = \frac{2}{15}

P_1 = 2/15, P_2 = 2/15

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar, somando as frações diretamente.

Passo 6 — Somar as contribuições dos dois caminhos

Os dois caminhos são mutuamente exclusivos e cobrem todas as possibilidades. Pelo Teorema da Probabilidade Total, a probabilidade final é a soma das contribuições de cada caminho.

Por que esta fórmula: Como os eventos 'transferir branca' e 'transferir preta' são mutuamente exclusivos e exaustivos, a probabilidade total de sortear branca é a soma das probabilidades de cada caminho.

P(branca de B)=P1+P2P(\text{branca de B}) = P_1 + P_2

De onde vem cada valor: P1P_1 = passo 5: 2/15 · P2P_2 = passo 5: 2/15

P=215+215=415=4 /15P = \frac{2}{15} + \frac{2}{15} = \frac{4}{15} = \boxed{4\ /15}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar os dois cenários, ficando com 2/15.

Resposta: 4/15 (alternativa B)

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