Questão de Matemática — Geometria Analítica — FGV 2024

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 7 cm — alternativa E.

A ideia por trás

Em geometria analítica, pontos sobre uma mesma reta podem ser localizados por suas posições, e a distância entre dois pontos é simplesmente a diferença entre suas coordenadas. Quando os pontos estão em ordem, a distância entre dois deles é a soma dos segmentos consecutivos entre eles.

Se temos pontos consecutivos A, B, C, D, E, F, então a distância entre A e C é AB + BC, entre B e E é BC + CD + DE, e entre D e F é DE + EF. A igualdade dessas distâncias gera equações que relacionam os segmentos desconhecidos.

Esta questão fornece três segmentos consecutivos e a igualdade de três distâncias maiores. Precisamos montar um sistema de equações para descobrir os segmentos desconhecidos e então calcular BD.

O que a questão dá

• AB = 11 cm

• CD = 2 cm

• EF = 7 cm

• AC = BE = DF

O que queremos: a distância entre B e D

Passo 1 — Nomear os segmentos desconhecidos

Para transformar as relações do enunciado em equações, precisamos dar nomes aos segmentos que não conhecemos: BC e DE. Assim podemos escrever as distâncias AC, BE e DF em função deles.

Passo 2 — Escrever as distâncias em função dos segmentos

Com os nomes definidos, podemos expressar as distâncias AC, BE e DF como somas dos segmentos consecutivos. Isso é necessário para usar a igualdade dada.

Por que esta fórmula: A distância entre dois pontos em uma reta é a soma dos segmentos entre eles, pois os pontos estão em ordem.

De onde vem cada valor: $AB$ = enunciado: 11 cm · $BC$ = passo 1: x · $CD$ = enunciado: 2 cm · $DE$ = passo 1: y · $EF$ = enunciado: 7 cm

Passo 3 — Montar o sistema de equações

A igualdade AC = BE = DF nos dá duas equações independentes, que relacionam x e y. Montar o sistema é o passo que permite resolver o problema.

Por que esta fórmula: Como AC = BE e AC = DF, podemos igualar as expressões obtidas no passo anterior.

De onde vem cada valor: $11 + x$ = passo 2: AC · $x + 2 + y$ = passo 2: BE · $y + 7$ = passo 2: DF

Passo 4 — Resolver a primeira equação para y

A primeira equação tem x dos dois lados, que se cancelam, permitindo achar y diretamente. Isso simplifica o sistema.

Por que esta fórmula: Subtraindo x de ambos os lados, obtemos uma equação simples em y.

De onde vem cada valor: $11$ = passo 3: lado esquerdo da primeira equação · $2$ = passo 3: termo constante do lado direito

Passo 5 — Substituir y na segunda equação e achar x

Com y conhecido, a segunda equação fica com uma única incógnita, x, que podemos isolar.

Por que esta fórmula: Substituindo o valor de y na equação 11 + x = y + 7, obtemos uma equação linear em x.

De onde vem cada valor: $11 + x$ = passo 3: lado esquerdo da segunda equação · $9$ = passo 4: valor de y · $7$ = passo 3: termo constante do lado direito

Passo 6 — Calcular a distância BD

Agora que conhecemos BC e CD, podemos somar para obter a distância entre B e D, que é o que a questão pede.

Por que esta fórmula: BD é a soma dos segmentos consecutivos BC e CD.

De onde vem cada valor: $BC$ = passo 5: 5 cm · $CD$ = enunciado: 2 cm

Resposta: 7 cm — alternativa E