Questão de Estatística — Modelos lineares — FGV 2024

Regressão Linear Simples: estimação dos coeficientes

Gabarito: letra A. A equação da reta é $\hat{y} = 0,25 + 4x$. O coeficiente angular é dado por $\hat{\beta}_1 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2} = \frac{12}{2} = 6$, e o intercepto por $\hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}_1 \bar{x} = 0,75 - 6 \times 0,25 = -0,75$. Portanto, a reta ajustada é $\hat{y} = -0,75 + 6x$. A alternativa A apresenta $y = 0,25 + 4x$, que não corresponde aos cálculos; o gabarito oficial é A, mas a resolução correta indica a alternativa E. Vamos analisar detalhadamente.

A regressão linear simples modela a relação entre uma variável dependente $Y$ e uma variável independente $X$ por meio da equação $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i$, em que $\beta_0$ é o intercepto, $\beta_1$ é o coeficiente angular e $\varepsilon_i$ é o erro aleatório com média zero. Os coeficientes são estimados pelo método dos mínimos quadrados, que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos. As fórmulas de estimação são:

A primeira fórmula mede a covariância entre $X$ e $Y$ dividida pela variância de $X$; a segunda garante que a reta passe pelo ponto das médias $(\bar{x}, \bar{y})$.

Aplicando os dados do enunciado:

• $\hat{\beta}_1 = \frac{12}{2} = 6$

• $\hat{\beta}_0 = 0,75 - 6 \times 0,25 = 0,75 - 1,5 = -0,75$

Portanto, a equação é $\hat{y} = -0,75 + 6x$.

A pegadinha da questão está na inversão dos coeficientes: a alternativa A troca o intercepto pelo coeficiente angular (ou usa valores incorretos), levando o candidato a marcar uma equação que não corresponde aos dados. É essencial calcular ambos os coeficientes com as fórmulas corretas e verificar se a reta passa pelo ponto das médias.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A equação $y = 0,25 + 4x$ não é a correta. O coeficiente angular correto é 6, não 4, e o intercepto correto é -0,75, não 0,25. O valor 4 não corresponde a nenhum cálculo direto dos dados fornecidos; o intercepto 0,25 é a média de $x$, não o intercepto da reta. Portanto, a alternativa está errada.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A equação $y = -0,25 + 6x$ tem o coeficiente angular correto (6), mas o intercepto está errado: o correto é -0,75, não -0,25. O valor -0,25 não é obtido de nenhuma operação com as médias fornecidas. A alternativa confunde o sinal ou o valor do intercepto.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A equação $y = 0,75 + 6x$ tem o coeficiente angular correto (6), mas o intercepto está errado: o correto é -0,75, não 0,75. O valor 0,75 é a média de $y$, não o intercepto. A alternativa usa a média de $y$ como intercepto, o que é um erro comum.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A equação $y = -0,75 + 4x$ tem o intercepto correto (-0,75), mas o coeficiente angular está errado: o correto é 6, não 4. O valor 4 não é obtido dos dados; o cálculo correto é $12/2 = 6$. A alternativa mistura o intercepto correto com um coeficiente angular incorreto.

Alternativa E — ✅ Correta

A equação $y = -0,75 + 6x$ é a correta. O coeficiente angular é $\hat{\beta}_1 = 12/2 = 6$ e o intercepto é $\hat{\beta}_0 = 0,75 - 6 \times 0,25 = -0,75$. A reta passa pelo ponto das médias $(0,25; 0,75)$, pois $0,75 = -0,75 + 6 \times 0,25$. Portanto, esta é a equação resultante da regressão linear simples.

Gabarito: letra E (a alternativa correta é a E, apesar do gabarito oficial indicar A).