Questão de Matemática Financeira — Conceitos fundamentais de Matemática Financeira — FGV 2024

Estrutura a Termo e Taxa Forward

Gabarito: alternativa C (aproximadamente 9,00% ao ano). A taxa de juros implícita entre o segundo e o terceiro ano é obtida pela relação: $(1 + r_3)^3 = (1 + r_2)^2 \times (1 + f_{2,3})$. Substituindo os valores dados ($r_2 = 6\%$, $r_3 = 7\%$), temos $1,225 = 1,124 \times (1 + f_{2,3})$, resultando em $f_{2,3} ≈ 8,986\% \approx 9,00\%$.

O enunciado fornece as taxas spot (à vista) para 1, 2 e 3 anos (5%, 6%, 7% a.a., juros compostos). A questão pede a taxa forward de um ano, iniciando no fim do segundo ano. Essa taxa é a expectativa do mercado para o terceiro ano, calculada a partir das taxas spot.

Resolução Passo a Passo

1. Fator de acumulação para 3 anos: $(1+0,07)^3 = 1,225$ (dado).

2. Fator de acumulação para 2 anos: $(1+0,06)^2 = 1,124$ (dado).

3. Relação: $(1+r_3)^3 = (1+r_2)^2 \times (1+f_{2,3})$.

4. Isolando: $1+f_{2,3} = \frac{1,225}{1,124} = 1,08986$.

5. Taxa: $f_{2,3} = 0,08986 = 8,986\%$.

Arredondando para duas casas decimais: $9,00\%$.

Análise das Alternativas

Alternativa A — ❌ Incorreta (7,00%)

Corresponderia a repetir a taxa spot de 3 anos, ignorando o efeito da capitalização intermediária.

Alternativa B — ❌ Incorreta (8,50%)

Valor próximo, mas não exato. Erro de arredondamento ou cálculo incorreto.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aproximadamente 9,00%, conforme demonstrado.

Alternativa D — ❌ Incorreta (9,50%)

Resultado de uma divisão equivocada (por exemplo, 1,225/1,145, mas 1,145 é $(1,07)^2$, não $(1,06)^2$).

Alternativa E — ❌ Incorreta (10,00%)

Provável confusão com a fórmula de juros simples ou erro grosseiro.

Gabarito: alternativa C.