Questão de Matemática — Pontos e Retas — FGV 2024

Geometria Espacial: Cubo e Distâncias

Gabarito: letra C. A razão entre o comprimento do segmento AP e a diagonal interna do cubo AG é $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Isso porque, tomando a aresta do cubo como $a$, temos $AP = \frac{a\sqrt{5}}{2}$ e $AG = a\sqrt{3}$, e a razão $\frac{AP}{AG}$ simplifica para $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Para resolver, precisamos visualizar o cubo e identificar as posições das arestas AB e GH. No cubo ABCDEFGH, as arestas AB e GH são paralelas e não pertencem à mesma face — isso significa que elas são arestas opostas, como as arestas de "frente" e "trás" do cubo. Vamos adotar um sistema de coordenadas para facilitar: coloque o vértice A na origem $(0,0,0)$, B em $(a,0,0)$, C em $(a,a,0)$, D em $(0,a,0)$, E em $(0,0,a)$, F em $(a,0,a)$, G em $(a,a,a)$ e H em $(0,a,a)$. Assim, a aresta AB vai de $(0,0,0)$ a $(a,0,0)$, e a aresta GH vai de $(a,a,a)$ a $(0,a,a)$ — são paralelas (ambas na direção do eixo x) e não compartilham face.

O ponto P é o ponto médio de GH, então $P = \left(\frac{a}{2}, a, a\right)$. Agora calculamos as distâncias:

• $AP = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + (a - 0)^2 + (a - 0)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2 + a^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{4}} = \frac{3a}{2}$.

• $AG = \sqrt{(a-0)^2 + (a-0)^2 + (a-0)^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

A razão pedida é $\frac{AP}{AG} = \frac{3a/2}{a\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

A pegadinha está em identificar corretamente as coordenadas de P: muitos alunos erram ao considerar P como ponto médio de uma aresta da face, o que levaria a um valor diferente. Aqui, P está no meio da aresta GH, que é uma aresta "superior" do cubo, e isso faz toda a diferença no cálculo.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Esse valor seria obtido se AP fosse a diagonal de uma face (como $a\sqrt{2}$) e AG fosse a aresta ($a$), mas não é o caso. A razão correta envolve a diagonal interna do cubo, que é $a\sqrt{3}$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{\sqrt{3}}{4}$. Esse valor não corresponde a nenhuma razão simples entre as distâncias do cubo. Provavelmente é um distrator numérico sem base geométrica.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado, $AP = \frac{3a}{2}$ e $AG = a\sqrt{3}$, resultando em $\frac{AP}{AG} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. É exatamente o valor da alternativa.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{\sqrt{5}}{2}$. Esse valor surgiria se AP fosse a diagonal de uma face ($a\sqrt{2}$) e AG fosse a aresta ($a$), mas não é o caso. A razão correta envolve a diagonal interna do cubo, que é $a\sqrt{3}$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{3}{2}$. Esse valor seria obtido se AP fosse $\frac{3a}{2}$ e AG fosse $a$, mas AG é a diagonal interna, $a\sqrt{3}$, então a razão é menor que 1.

Gabarito: letra C