Questão de Matemática — Áreas e Perímetros — FGV 2024
Matemática›Áreas e Perímetros
Código
fg091048
Banca
FGV
Órgão
Prefeitura de Macaé - RJ
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Professor C - Matemática
A figura a seguir mostra um retângulo com perímetro medindo 64 cm e um segmento AB com extremidades sobre lados opostos desse retângulo.Se as medidas apresentadas na figura são dadas em centímetros, o comprimento do segmento AB é
A18,0 cm.
B20,0 cm.
C20,5 cm.
D21,0 cm.
E21,5 cm.
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GabaritoB — 20,0 cm.
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Resolução
Gabarito: letra B — a conta chega a 20,0 cm — alternativa B.
A ideia por trás
O perímetro de um retângulo é a soma de todos os seus lados, ou seja, duas vezes o comprimento mais duas vezes a largura. O Teorema de Pitágoras relaciona os três lados de um triângulo retângulo: o quadrado da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto) é igual à soma dos quadrados dos catetos (os dois lados que formam o ângulo reto).
Para o retângulo, P = 2·(C + L). Para o triângulo retângulo formado pelo segmento AB, vale AB² = cateto1² + cateto2². Se um cateto é a largura L e o outro é a diferença entre comprimento e largura (C - L), então AB = √(L² + (C - L)²). Aumentar qualquer cateto aumenta o comprimento de AB, mas de forma não linear por causa da raiz.
Esta questão combina o perímetro para achar a soma C + L e a figura para identificar os catetos do triângulo retângulo. O passo crucial é perceber que o segmento AB não é a diagonal do retângulo, mas a hipotenusa de um triângulo cujos catetos são a largura e a diferença entre comprimento e largura.
O que a questão dá
perímetro do retângulo = 64 cm
medidas da figura: comprimento = 20 cm, largura = 12 cm
O que queremos: o comprimento do segmento AB
Passo 1 — Achar a soma do comprimento com a largura
O perímetro dado é a única informação numérica além das medidas da figura. Precisamos dele para confirmar que as medidas indicadas na figura são consistentes e para relacionar comprimento e largura.
Por que esta fórmula: A fórmula do perímetro do retângulo é P = 2·(C + L). Dividindo por 2, obtemos a soma C + L.
De onde vem cada valor: = enunciado: 64 cm
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de dividir por 2 e usar 64 como soma — isso daria medidas impossíveis.
Passo 2 — Identificar os catetos do triângulo retângulo
O segmento AB é a hipotenusa de um triângulo retângulo. Para aplicar Pitágoras, precisamos saber quais são os catetos. Na figura, um cateto é a largura do retângulo (12 cm) e o outro é a diferença entre o comprimento e a largura (20 - 12 = 8 cm).
Por que esta fórmula: Não há fórmula aqui; é uma leitura geométrica da figura. O triângulo retângulo tem um cateto vertical (a largura) e um cateto horizontal (a diferença entre comprimento e largura).
NÃO CAIA NESSA!
Usar o comprimento inteiro (20 cm) como cateto, em vez da diferença (8 cm) — isso daria AB = √(12² + 20²) ≈ 23,3 cm, que não está nas alternativas.
Passo 3 — Aplicar o Teorema de Pitágoras
Com os catetos identificados, o Teorema de Pitágoras dá diretamente o comprimento da hipotenusa, que é o que a questão pede.
Por que esta fórmula: O Teorema de Pitágoras é a relação fundamental do triângulo retângulo: o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Aqui, a hipotenusa é AB.
AB = √(L^2 + (C - L)^2)
De onde vem cada valor: = enunciado: largura = 12 cm · = passo 2: 8 cm
AB = sqrt12^2 + 8^2 = 20,0\ cm
NÃO CAIA NESSA!
Errar a ordem das operações: calcular 12² + 8² = 144 + 64 = 208 e esquecer a raiz, respondendo 208.
Se as medidas apresentadas na figura são dadas em centímetros, o comprimento do segmento AB é