Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FGV 2024

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 18,5 (alternativa B).

A ideia por trás

A mediana é o valor que separa a metade menor da metade maior de um conjunto de dados ordenados. Quando o conjunto tem um número par de elementos, a mediana é a média dos dois valores centrais. Nesta questão, precisamos primeiro descobrir as idades atuais de cada pessoa, usando as relações dadas e a média, e depois somar 1 ano a cada idade antes de calcular a mediana. A média é a soma de todos os valores dividida pela quantidade de valores; aqui ela fornece a equação que fecha o sistema.

O que a questão dá

• Maria tem hoje a idade que Nádia tinha há 2 anos

• Olga tem a mesma idade que Paula

• Paula é 1 ano mais velha que Nádia

• média das idades hoje = 17

O que queremos: a mediana das idades daqui a um ano

Passo 1 — Montar as equações das idades

Precisamos traduzir as relações do enunciado em equações matemáticas para poder trabalhar com elas. Cada frase vira uma igualdade entre as idades atuais.

Por que esta fórmula: As relações são diretas: 'Maria tem hoje a idade que Nádia tinha há 2 anos' significa que a idade de Maria é igual à idade de Nádia menos 2. As outras seguem o mesmo raciocínio.

De onde vem cada valor: $M$ = enunciado: Maria · $N$ = enunciado: Nádia · $O$ = enunciado: Olga · $P$ = enunciado: Paula

Passo 2 — Escrever a equação da média

A média das idades hoje é 17, e isso nos dá uma equação que relaciona todas as idades. Sem ela, não temos informação suficiente para achar os valores individuais.

Por que esta fórmula: A média é a soma dos valores dividida pela quantidade de valores. Como são quatro pessoas, a soma das idades é 4 vezes a média.

De onde vem cada valor: $M$ = passo 1 · $N$ = passo 1 · $O$ = passo 1 · $P$ = passo 1

Passo 3 — Substituir as relações na soma

Agora que temos a soma total, podemos substituir M, O e P pelas expressões em função de N, transformando a equação em uma só incógnita.

Por que esta fórmula: Substituímos cada letra pela expressão equivalente: M vira N-2, O vira P que vira N+1, e P vira N+1. Isso reduz a equação a uma forma simples.

De onde vem cada valor: $N - 2$ = passo 1: M = N - 2 · $N$ = passo 1: Nádia · $N + 1$ = passo 1: P = N + 1

Passo 4 — Resolver a equação para N

Com a equação 4N = 68, podemos isolar N dividindo ambos os lados por 4. Isso nos dá a idade atual de Nádia.

Por que esta fórmula: Para isolar a incógnita, fazemos a operação inversa: como N está multiplicado por 4, dividimos por 4.

De onde vem cada valor: $68$ = passo 3: soma total · $4$ = passo 3: coeficiente de N

Passo 5 — Calcular as outras idades atuais

Com N = 17, usamos as relações do passo 1 para achar as idades de Maria, Paula e Olga. Precisamos de todas para depois somar 1 ano.

Por que esta fórmula: Substituímos N por 17 nas expressões: M = 17 - 2, P = 17 + 1, O = P.

De onde vem cada valor: $17$ = passo 4 · $2$ = passo 1: M = N - 2 · $1$ = passo 1: P = N + 1

M = 15, P = 18, O = 18

Passo 6 — Somar 1 ano a cada idade

A questão pede as idades daqui a um ano, então precisamos adicionar 1 a cada idade atual. Esse é o passo que muitos esquecem.

Por que esta fórmula: Daqui a um ano, cada pessoa terá a idade atual mais 1.

De onde vem cada valor: $M$ = passo 5: 15 · $N$ = passo 4: 17 · $O$ = passo 5: 18 · $P$ = passo 5: 18

M' = 16, N' = 18, O' = 19, P' = 19

Passo 7 — Ordenar as idades futuras

Para achar a mediana, precisamos colocar os valores em ordem crescente. A mediana depende da posição dos valores ordenados.

Por que esta fórmula: Ordenar é colocar do menor para o maior. Isso é necessário para identificar os termos centrais.

Passo 8 — Calcular a mediana

Com 4 elementos (número par), a mediana é a média dos dois valores centrais. Aqui, os centrais são 18 e 19.

Por que esta fórmula: Para um conjunto com número par de elementos, a mediana é a média aritmética dos dois valores do meio.

De onde vem cada valor: $18$ = passo 7: segundo valor · $19$ = passo 7: terceiro valor

Resposta: 18,5 (alternativa B)