Analista em Gestão Municipal (Tecnologia da Informação)
Considere um polígono convexo C de 13 lados cujos vértices são P1, P₂, P₃, P₄,⋯, P₁₂, P₁₃. De um ponto Q no interior desse polígono, são traçados 13 segmentos, cada um deles ligando Q a um vértice distinto de C.Para calcular a soma de todos os 13 ângulos internos de C, Antígona usou a seguinte estratégia:1º Somou todos os ângulos internos dos 13 triângulos que têm lado comum com C e vértice Q, obtendo o resultado S₁;2º Somou os ângulos internos com vértice em Q dos 13 triângulos descritos na etapa anterior, obtendo o resultado S₂;Em seguida, Antígona calculou corretamente S₁ − S₂ e obteve
A1620º.
B1980º.
C2030º.
D2160º.
E2340º.
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GabaritoB — 1980º.
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Resolução
Gabarito: letra B — a conta chega a 1980° (alternativa B).
A ideia por trás
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é dada por (n−2)·180°. Essa fórmula vem da decomposição do polígono em triângulos: de um vértice, traçam-se diagonais que dividem o polígono em (n−2) triângulos, e cada triângulo contribui com 180°. Assim, para um polígono de 13 lados, a soma é (13−2)·180° = 1980°. Nesta questão, a decomposição é feita a partir de um ponto interno Q, formando 13 triângulos com cada lado do polígono. A soma dos ângulos internos de todos esses triângulos (S₁) é 13·180°, mas os ângulos em Q, somados, formam uma volta completa de 360° (S₂). Subtraindo S₂ de S₁, obtemos exatamente a soma dos ângulos internos do polígono, que é o que se pede.
O que a questão dá
polígono convexo com 13 lados
13 triângulos formados ligando Q a cada vértice
S₁ = soma dos ângulos internos dos 13 triângulos
S₂ = soma dos ângulos com vértice em Q
O que queremos: o valor de S₁ − S₂
Passo 1 — Calcular a soma dos ângulos dos 13 triângulos
Cada triângulo tem 180° de soma de ângulos internos. Como são 13 triângulos, a soma total S₁ é 13 vezes 180°. Isso é o primeiro passo porque S₁ é a base do cálculo.
Por que esta fórmula: A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180°, então para 13 triângulos multiplicamos por 13.
De onde vem cada valor: = enunciado: 13 triângulos · = propriedade do triângulo
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que cada triângulo tem 180° e tentar usar outra soma.
Passo 2 — Identificar a soma dos ângulos em Q
Os ângulos com vértice em Q, um em cada triângulo, estão todos ao redor do ponto Q. Juntos, eles preenchem uma volta completa, que mede 360°. Precisamos desse valor para subtrair de S₁.
Por que esta fórmula: A soma dos ângulos ao redor de um ponto é sempre 360°, pois é uma volta completa.
De onde vem cada valor: = propriedade de ângulos ao redor de um ponto
NÃO CAIA NESSA!
Achar que S₂ é 13·180° ou outro valor, em vez de 360°.
Passo 3 — Subtrair S₂ de S₁
A diferença S₁ − S₂ elimina os ângulos em Q, restando exatamente os ângulos internos do polígono. Essa é a operação final pedida.
Por que esta fórmula: A subtração é direta: S₁ é a soma de todos os ângulos dos triângulos, e S₂ é a parte que não pertence ao polígono (os ângulos em Q).
De onde vem cada valor: = passo 1 · = passo 2
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de subtrair S₂ e marcar 2340° (alternativa E).