Questão de Estatística — Cálculo de Probabilidades — FGV 2024

Independência de eventos e a probabilidade da interseção

Gabarito: letra B. Se A, B e C são eventos independentes, a probabilidade da interseção dos três é o produto das probabilidades individuais: $P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)$. Essa é a definição de independência para três eventos, que exige tanto a independência dois a dois quanto a conjunta.

A independência de eventos é um dos conceitos mais cobrados em probabilidade. Dois eventos A e B são independentes quando a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro, o que se traduz na regra do produto: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Para três eventos, a condição é mais forte: além das três igualdades dois a dois, exige-se também que $P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)$. É exatamente essa condição que o enunciado pede.

A banca explora aqui a confusão entre independência e outros conceitos, como a regra da adição (para união) ou a probabilidade condicional. A alternativa correta é a única que aplica diretamente a definição de independência.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A soma das probabilidades $P(A)+P(B)+P(C)$ corresponde à regra da adição para eventos mutuamente exclusivos (quando a interseção é vazia), não à interseção de eventos independentes. Para eventos independentes, a interseção é o produto, não a soma.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Pela definição de independência de três eventos, a probabilidade da interseção é o produto das probabilidades individuais: $P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)$. É a aplicação direta da regra da multiplicação para eventos independentes.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Subtrair a probabilidade da união $P(A \cup B \cup C)$ não tem relação com a interseção de eventos independentes. A expressão mistura conceitos de união e interseção sem fundamento teórico.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A expressão é uma combinação confusa de produtos e subtrações de interseções e união, sem qualquer base na definição de independência. Além disso, repete $P(A \cap B)$ duas vezes, o que reforça o caráter aleatório da fórmula.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A interseção de eventos independentes não é necessariamente zero. Ela só seria zero se os eventos fossem mutuamente exclusivos, o que não é o caso aqui. Por exemplo, se $P(A)=P(B)=P(C)=0,5$, a interseção tem probabilidade $0,125$.

Gabarito: letra B