Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg091877

Desvio-padrão a partir dos momentos

Gabarito: letra A. O desvio-padrão de X é 3, pois a variância é dada por $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 25 - 4^2 = 9$ , e o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância: $\sqrt{9} = 3$ .

A questão cobra a relação entre os momentos de uma variável aleatória e a sua dispersão. A variância mede a dispersão em torno da média e pode ser calculada pela fórmula alternativa (fórmula computacional):

Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

Essa identidade é fundamental e aparece tanto na estatística descritiva (para dados populacionais) quanto na teoria da probabilidade. O desvio-padrão, por sua vez, é a raiz quadrada positiva da variância, trazendo a medida de dispersão para a mesma unidade dos dados.

A pegadinha da banca está em oferecer alternativas que correspondem a erros comuns de cálculo: esquecer de subtrair o quadrado da média (resultando em $\sqrt{25} = 5$ , que não está nas opções), calcular $E(X^2) - E(X) = 21$ (alternativa C), ou $E(X^2) + E(X) = 29$ (alternativa D). O candidato que domina a fórmula resolve em segundos.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando a fórmula da variância:

Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 25 - 4^2 = 25 - 16 = 9

O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância:

\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{9} = 3

Portanto, a alternativa A está correta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 9 é a variância, não o desvio-padrão. O candidato que esquece de extrair a raiz quadrada marca esta alternativa. A banca explora exatamente essa confusão entre variância e desvio-padrão.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\sqrt{21}$ resultaria de calcular $E(X^2) - E(X) = 25 - 4 = 21$ e extrair a raiz. Esse é um erro de sinal: a fórmula correta subtrai o quadrado da média, não a média. O valor 21 não tem significado estatístico direto aqui.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$\sqrt{29}$ resultaria de calcular $E(X^2) + E(X) = 25 + 4 = 29$ e extrair a raiz. Novamente, é um erro de sinal: soma-se em vez de subtrair o quadrado da média. O valor 29 também não corresponde a nenhuma medida relevante.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 2,5 é a raiz quadrada de 6,25, que não tem relação com os dados. Poderia ser uma tentativa de calcular a média dos momentos ( $(4+25)/2 = 14,5$ ) e extrair a raiz, mas isso não corresponde a nenhuma medida de dispersão. Não há fundamento estatístico para esse valor.

NÃO CAIA NESSA!

A banca troca a variância pelo desvio-padrão (alternativa B) e cria distratores a partir de erros de sinal na fórmula (C e D). O candidato que decora a fórmula $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ e lembra de extrair a raiz no final não cai nessas armadilhas. 💪

NÃO CAIA NESSA!

Sempre que a questão fornecer $E(X)$ e $E(X^2)$ , use a fórmula computacional da variância. E lembre: o desvio-padrão é a raiz quadrada da variância — nunca confunda os dois. Em provas, essa é uma das pegadinhas mais frequentes em medidas de dispersão.

Gabarito: letra A