Questão de Matemática — Raciocínio Lógico — FGV 2024

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a R$ 400,00 (alternativa C).

A ideia por trás

Este problema envolve porcentagem e equações do primeiro grau. A porcentagem é uma fração de um todo: 20% de um valor é o mesmo que 0,20 vezes esse valor. Quando Pedro dá 20% do que tem, ele transfere uma parte do seu dinheiro para Marcela, e o total de Marcela passa a ser o que ela já tinha mais o que recebeu. A relação entre os valores iniciais é dada por uma equação: Pedro tem 120 a mais que Marcela, então P = M + 120. A transferência é modelada por outra equação: M + 0,20P = 504. Resolver esse sistema nos dá o valor inicial de Marcela. Nesta questão, precisamos montar essas duas equações e substituir uma na outra para encontrar M.

O que a questão dá

• Pedro tem R$ 120,00 a mais que Marcela

• Pedro dá 20% do que possui para Marcela

• Marcela fica com R$ 504,00 após receber

O que queremos: o valor inicial que Marcela possuía

Passo 1 — Definir as incógnitas

Para transformar o problema em linguagem matemática, precisamos dar nomes aos valores desconhecidos. Chamar o dinheiro de Pedro de P e o de Marcela de M permite escrever as relações do enunciado como equações.

Passo 2 — Escrever a relação entre os valores

O enunciado diz que Pedro tem R$ 120,00 a mais que Marcela. Isso significa que o valor de Pedro é igual ao de Marcela mais 120. Essa é a primeira equação do sistema.

Por que esta fórmula: A frase 'Pedro possui R$ 120,00 a mais do que Marcela' se traduz diretamente em P = M + 120, pois 'a mais' indica soma.

De onde vem cada valor: $P$ = enunciado: valor inicial de Pedro · $M$ = enunciado: valor inicial de Marcela · $120$ = enunciado: R$ 120,00 a mais

Passo 3 — Escrever a equação da transferência

Depois que Pedro dá 20% do que tem, Marcela fica com seu valor inicial mais o que recebeu, totalizando R$ 504,00. Isso gera a segunda equação, que relaciona M e P.

Por que esta fórmula: O valor recebido por Marcela é 20% do dinheiro de Pedro, ou seja, 0,20 × P. Somando isso ao valor inicial de Marcela (M), o total deve ser 504.

De onde vem cada valor: $M$ = enunciado: valor inicial de Marcela · $0{,}20$ = enunciado: 20% = 0,20 · $P$ = enunciado: valor inicial de Pedro · $504$ = enunciado: total final de Marcela

Passo 4 — Substituir P na segunda equação

Com duas equações e duas incógnitas, substituímos a expressão de P (da primeira equação) na segunda. Assim, ficamos com uma equação apenas com M, que podemos resolver.

Por que esta fórmula: Como P = M + 120, trocamos P por M + 120 na equação M + 0,20P = 504.

De onde vem cada valor: $M$ = passo 1 · $0{,}20$ = passo 3 · $M + 120$ = passo 2: P = M + 120 · $504$ = passo 3

Passo 5 — Simplificar a equação

Para isolar M, precisamos primeiro eliminar os parênteses e combinar os termos semelhantes. Isso transforma a equação em uma forma mais simples.

Por que esta fórmula: Aplicando a distributiva: 0,20 × M + 0,20 × 120 = 0,20M + 24. Depois somamos M com 0,20M, resultando em 1,20M.

De onde vem cada valor: $1{,}20M$ = passo 4: M + 0,20M = 1,20M · $24$ = passo 4: 0,20 × 120 = 24 · $504$ = passo 3

Passo 6 — Isolar M

Para descobrir o valor de M, precisamos deixá-lo sozinho em um lado da equação. Subtraímos 24 dos dois lados e depois dividimos por 1,20.

Por que esta fórmula: Subtraindo 24 de ambos os lados: 1,20M = 480. Depois dividimos ambos os lados por 1,20 para obter M.

De onde vem cada valor: $480$ = passo 5: 504 - 24 = 480 · $1{,}20$ = passo 5: coeficiente de M

Resposta: R$ 400,00 (alternativa C)