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Questão de Matemática — Raciocínio Lógico — FGV 2024

MatemáticaRaciocínio Lógico
Código
fg092126
Banca
FGV
Órgão
Prefeitura de São José dos Campos - SP
Ano
2024
Nível
Médio
Cargo
Guarda Civil Municipal - Reabertura
Considere o conjunto dos múltiplos de 4 maiores do que 350 e menores do que 777.Se N é o número de elementos do conjunto citado, a soma dos algarismos de N é igual a
  1. A8.
  2. B9.
  3. C10.
  4. D11.
  5. E12
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 8.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a A soma dos algarismos de N é 8, portanto alternativa A..

A ideia por trás

Múltiplos de um número formam uma progressão aritmética (PA) com razão igual a esse número. Para contar quantos múltiplos existem em um intervalo, identificamos o primeiro e o último múltiplo dentro do intervalo e usamos a fórmula do termo geral da PA: a_n = a_1 + (n-1)r, onde a_n é o último termo, a_1 o primeiro, r a razão e n o número de termos. Isolando n, obtemos n = (a_n - a_1)/r + 1. Essa fórmula conta quantos termos existem entre o primeiro e o último, incluindo ambos. Nesta questão, o intervalo é aberto (exclui 350 e 777), então precisamos achar o primeiro múltiplo maior que 350 e o último menor que 777, e então aplicar a fórmula.

O que a questão dá

  • intervalo: maiores que 350 e menores que 777

  • múltiplos de 4

O que queremos: a soma dos algarismos do número de elementos do conjunto

Passo 1 — Encontrar o primeiro múltiplo de 4 maior que 350

O intervalo é aberto: 350 não está incluído. Precisamos do primeiro múltiplo de 4 que seja estritamente maior que 350, pois ele será o primeiro termo da PA.

Por que esta fórmula: Para achar o próximo múltiplo, dividimos 350 por 4 e arredondamos para cima, depois multiplicamos por 4. Como 350 ÷ 4 = 87,5, o próximo inteiro é 88, então 88 × 4 = 352.

a1=4×⌈3504⌉a_1 = 4 \times \lceil \frac{350}{4} \rceil

De onde vem cada valor: 350350 = enunciado: limite inferior do intervalo · 44 = enunciado: múltiplos de 4

a1=4×88=352=352a_1 = 4 \times 88 = 352 = \boxed{352}
NÃO CAIA NESSA!

Incluir 350 como múltiplo, mas 350 não é divisível por 4 (350 ÷ 4 = 87,5).

Passo 2 — Encontrar o último múltiplo de 4 menor que 777

O intervalo é aberto também no extremo superior: 777 não está incluído. Precisamos do último múltiplo de 4 que seja estritamente menor que 777, pois ele será o último termo da PA.

Por que esta fórmula: Para achar o último múltiplo, dividimos 777 por 4 e arredondamos para baixo, depois multiplicamos por 4. Como 777 ÷ 4 = 194,25, o inteiro abaixo é 194, então 194 × 4 = 776.

an=4×⌊7774⌋a_n = 4 \times \lfloor \frac{777}{4} \rfloor

De onde vem cada valor: 777777 = enunciado: limite superior do intervalo · 44 = enunciado: múltiplos de 4

an=4×194=776=776a_n = 4 \times 194 = 776 = \boxed{776}
NÃO CAIA NESSA!

Incluir 777 como múltiplo, mas 777 não é divisível por 4 (777 ÷ 4 = 194,25).

Passo 3 — Calcular o número de termos da PA

Agora que temos o primeiro termo (352) e o último (776), e sabemos que a razão é 4, podemos usar a fórmula do termo geral da PA para descobrir quantos termos existem entre eles, incluindo ambos.

Por que esta fórmula: A fórmula do termo geral é a_n = a_1 + (n-1)r. Isolando n, obtemos n = (a_n - a_1)/r + 1. Essa fórmula conta quantos termos existem na sequência, e o '+1' é essencial para incluir o primeiro termo.

N=an−a1r+1N = \frac{a_n - a_1}{r} + 1

De onde vem cada valor: ana_n = passo 2: 776 · a1a_1 = passo 1: 352 · rr = enunciado: múltiplos de 4, razão = 4

N=776−3524+1=4244+1=106+1=107=107N = \frac{776 - 352}{4} + 1 = \frac{424}{4} + 1 = 106 + 1 = 107 = \boxed{107}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar 1, resultando em 106, ou usar os extremos 350 e 777 diretamente, o que daria um valor errado.

Passo 4 — Somar os algarismos de N

O problema pede a soma dos algarismos de N, não apenas o valor de N. Agora que sabemos que N = 107, precisamos somar seus dígitos.

Por que esta fórmula: A soma dos algarismos de um número é a adição de cada dígito individual. Para 107, os dígitos são 1, 0 e 7.

S=1+0+7S = 1 + 0 + 7

De onde vem cada valor: 11 = passo 3: dígito das centenas de 107 · 00 = passo 3: dígito das dezenas de 107 · 77 = passo 3: dígito das unidades de 107

S=1+0+7=8=8S = 1 + 0 + 7 = 8 = \boxed{8}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a soma dos algarismos com o próprio número, ou errar a soma (por exemplo, 1+7=8, esquecendo o 0).

Resposta: A soma dos algarismos de N é 8, portanto alternativa A.

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