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Questão de Matemática — Áreas e Perímetros — FGV 2024

MatemáticaÁreas e Perímetros
Código
fg092231
Banca
FGV
Órgão
Prefeitura de São José dos Campos - SP
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Técnico Tributário
Considere um pentágono regular convexo P₁ cujos lados medem a. Considere, ainda, outro pentágono regular convexo P₂ cujos lados medem b.Se a área de P₂ é 69% maior do que a área de P₁, a soma a + b é igual a
  1. A2,60a.
  2. B2,30a.
  3. C2,00a.
  4. D1,69a.
  5. E1,30a.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 2,30a.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 2,3a — alternativa B.

A ideia por trás

Quando duas figuras são semelhantes (mesma forma, lados proporcionais), a razão entre seus lados é uma constante k, e a razão entre suas áreas é k². Isso vale para qualquer figura semelhante: triângulos, retângulos, pentágonos, círculos etc. A área de um polígono regular é proporcional ao quadrado do seu lado, então se o lado dobra, a área quadruplica; se o lado triplica, a área fica 9 vezes maior. Nesta questão, os dois pentágonos são regulares e convexos, logo têm a mesma forma e são semelhantes. A área de P₂ é 69% maior que a de P₁, o que significa que a razão entre as áreas é 1,69. Para achar a razão entre os lados, precisamos extrair a raiz quadrada de 1,69, pois a área cresce com o quadrado do lado.

O que a questão dá

  • lado do pentágono P₁ = a

  • lado do pentágono P₂ = b

  • área de P₂ é 69% maior que a área de P₁

O que queremos: a soma a + b

Passo 1 — Escrever a razão entre as áreas

O enunciado diz que a área de P₂ é 69% maior que a de P₁. Precisamos transformar essa informação em uma razão entre as áreas, porque a semelhança relaciona áreas com o quadrado dos lados.

Por que esta fórmula: Se uma grandeza é 69% maior que outra, ela vale 100% + 69% = 169% da outra, ou seja, 1,69 vezes. Então a razão entre as áreas é 1,69.

A2A1=1,69\frac{A_2}{A_1} = 1{,}69

De onde vem cada valor: A2A_2 = enunciado: área de P₂ · A1A_1 = enunciado: área de P₁ · 1,691{,}69 = enunciado: 69% maior, ou seja, 1 + 0,69

A2A1=1,69=1,69\frac{A_2}{A_1} = 1{,}69 = \boxed{1{,}69}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar 1 e usar 0,69 como razão, o que daria um lado menor que o original.

Passo 2 — Relacionar áreas com os lados

Como os pentágonos são semelhantes, a razão entre as áreas é o quadrado da razão entre os lados. Precisamos dessa relação para chegar ao valor de b.

Por que esta fórmula: Para figuras semelhantes, a razão entre áreas é o quadrado da razão de semelhança. Aqui a razão de semelhança é b/a, então (b/a)² = A₂/A₁.

(ba)2=A2A1\left(\frac{b}{a}\right)^{2} = \frac{A_2}{A_1}

De onde vem cada valor: bb = enunciado: lado de P₂ · aa = enunciado: lado de P₁ · A2A1\frac{A_2}{A_1} = passo 1: 1,69

(ba)2=1,69\left(\frac{b}{a}\right)^{2} = 1{,}69
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a razão de áreas com a razão de lados, achando que b/a = 1,69.

Passo 3 — Extrair a raiz quadrada

Precisamos isolar b/a. Como ele está ao quadrado, aplicamos a raiz quadrada nos dois lados da equação. A raiz quadrada de 1,69 é 1,3, pois 1,3² = 1,69.

Por que esta fórmula: A operação inversa da potenciação é a radiciação. Para desfazer o quadrado, extraímos a raiz quadrada.

ba=1,69\frac{b}{a} = \sqrt{1{,}69}

De onde vem cada valor: 1,691{,}69 = passo 2: razão entre as áreas

ba=1,69=1,3\frac{b}{a} = \sqrt{1{,}69} = 1{,}3
b=1,3 ab = \boxed{1{,}3\ \text{a}}
NÃO CAIA NESSA!

Não extrair a raiz e usar b = 1,69a, que é a razão entre as áreas, não entre os lados.

Passo 4 — Calcular a soma a + b

Agora que sabemos que b = 1,3a, podemos somar com a para obter a resposta final.

Por que esta fórmula: A soma pedida é simplesmente a + b. Substituímos b pelo valor encontrado.

a+b=a+1,3aa + b = a + 1{,}3a

De onde vem cada valor: aa = enunciado: lado de P₁ · 1,3a1{,}3a = passo 3: b = 1,3a

a+b=a+1,3a=2,3a=2,3 aa + b = a + 1{,}3a = 2{,}3a = \boxed{2{,}3\ \text{a}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar a e marcar 1,3a (alternativa E).

Resposta: 2,3a — alternativa B

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