GabaritoA — 12.
Gabarito: letra A — a conta chega a 12 (alternativa A).
Todo número de três algarismos pode ser escrito como 100c + 10d + u, onde c é o algarismo das centenas, d o das dezenas e u o das unidades. O valor posicional de cada algarismo depende de sua posição: o das centenas vale 100 vezes o algarismo, o das dezenas vale 10 vezes, e o das unidades vale o próprio algarismo. Nesta questão, o que importa são os algarismos em si, não o valor que representam no número.
A relação d = u + c liga os algarismos: o algarismo das dezenas é a soma dos outros dois. Como c é fixo (3), essa relação determina d a partir de u. Além disso, o número ser ímpar impõe que u seja ímpar (1, 3, 5, 7, 9), e o intervalo 320–380 fixa c = 3. A condição de algarismos distintos elimina candidatos que repitam o 3.
Nesta questão, combinamos a decomposição decimal com as restrições de paridade, intervalo e a relação entre os algarismos. O caminho é listar os possíveis valores de u, calcular d, formar os números candidatos e testar todas as condições.
número inteiro ímpar entre 320 e 380
algarismos distintos entre si
algarismo das dezenas = soma do algarismo das unidades com o das centenas
O que queremos: o produto dos três algarismos do número
O número está entre 320 e 380. Qualquer número de três algarismos nesse intervalo tem o algarismo das centenas igual a 3, pois 320 começa com 3 e 380 também. Isso reduz o problema: c = 3.
Achar que o algarismo das centenas poderia ser 2 ou 4, mas o intervalo 320–380 só permite 3.
O enunciado diz que o algarismo das dezenas é a soma do algarismo das unidades com o das centenas. Com c = 3, essa relação vira d = u + 3. Precisamos dessa equação para gerar os candidatos.
Por que esta fórmula: É a tradução direta da frase do enunciado: 'dezenas = unidades + centenas'. Como já sabemos que c = 3, substituímos.
De onde vem cada valor: = algarismo das dezenas (incógnita) · = algarismo das unidades (incógnita) · = passo 1: c = 3
Inverter a relação, escrevendo u = d + c, o que levaria a números errados.
O número é ímpar, então o algarismo das unidades u deve ser ímpar: 1, 3, 5, 7 ou 9. Além disso, d = u + 3 precisa ser um algarismo (0 a 9). Isso restringe u: se u = 7, d = 10 (não é algarismo); se u = 9, d = 12 (não é algarismo). Então só sobram u = 1, 3, 5.
Esquecer que d também precisa ser um algarismo (0–9) e incluir u = 7 ou 9.
Com os valores possíveis de u, usamos d = u + 3 para achar as dezenas correspondentes. Isso gera os números candidatos.
Por que esta fórmula: É a relação do passo 2 aplicada a cada valor de u.
De onde vem cada valor: = passo 3: u ∈ {1, 3, 5} · = passo 1: c = 3
Fazer a conta errada, como d = u - 3.
Com c = 3 e os pares (u, d) do passo 4, montamos os números de três algarismos: centena, dezena, unidade. Isso nos dá 341, 363 e 385.
Montar o número na ordem errada, como 314 em vez de 341.
O enunciado exige algarismos distintos. Em 363, o 3 aparece duas vezes; em 385, o 3 também se repete. Só 341 tem todos os algarismos diferentes (3, 4, 1).
Número válido: 341
Esquecer de verificar a condição de algarismos distintos e aceitar 363 ou 385.
Agora que sabemos que o número é 341, calculamos o produto dos algarismos: 3 × 4 × 1. Esse é o valor pedido.
Por que esta fórmula: O produto é a multiplicação direta dos três algarismos do número encontrado.
De onde vem cada valor: = passo 1: c = 3 · = passo 4: d = 4 · = passo 3: u = 1
Multiplicar os valores posicionais (300 × 40 × 1) em vez dos algarismos.
Resposta: 12 (alternativa A)
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