Questão de Matemática — Trigonometria — FGV 2024

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a x = 56º — alternativa B.

A ideia por trás

Em uma circunferência, um ângulo pode ter o vértice no centro (ângulo central) ou sobre a própria circunferência (ângulo inscrito). O ângulo central é formado por dois raios e mede exatamente o arco que ele 'enxerga'; o ângulo inscrito é formado por duas cordas e também enxerga um arco, mas sua medida é sempre a metade desse arco.

A relação fundamental é: o ângulo central é o dobro do ângulo inscrito, desde que ambos subtendam o mesmo arco. Isso acontece porque, ao traçar o raio até o vértice do ângulo inscrito, formam-se triângulos isósceles cujos ângulos da base se somam para dar o ângulo central. Assim, se o central mede 112º, o inscrito que enxerga o mesmo arco mede 56º.

Esta questão cobra exatamente essa relação: identificar qual ângulo é central e qual é inscrito, e aplicar a divisão por 2. A pegadinha é inverter a operação.

O que a questão dá

• circunferência de centro O

• triângulo BEL inscrito

• ângulo central de 112º (indicado na figura)

• vértice do ângulo pedido sobre a circunferência

O que queremos: a medida x do ângulo inscrito

Passo 1 — Identificar o ângulo central

Precisamos saber qual ângulo tem vértice no centro O, porque é ele que define o arco que o ângulo pedido também enxerga. Na figura, o ângulo de 112º tem vértice em O, então é o central.

Passo 2 — Aplicar a relação central = 2 × inscrito

O ângulo pedido x tem vértice sobre a circunferência e seus lados passam pelas mesmas extremidades do arco que o ângulo central de 112º enxerga. Pela propriedade do ângulo inscrito, ele vale a metade do central.

Por que esta fórmula: A relação entre ângulo central e inscrito que subtendem o mesmo arco é sempre central = 2 × inscrito. Como queremos o inscrito, dividimos o central por 2.

De onde vem cada valor: $112^{\circ}$ = passo 1: ângulo central · $2$ = constante: relação central = 2 × inscrito

Resposta: x = 56º — alternativa B