Questão de Matemática — Seno, Cosseno e Tangente — FGV 2024

Comparação de funções trigonométricas: f(x) = sen(x) e h(x) = -2sen(x + π/2)

Gabarito: letra D — estão corretas as afirmações 1, 2 e 4. A função h(x) = -2sen(x + π/2) pode ser reescrita como h(x) = -2cos(x), o que revela que seu gráfico é o de um cosseno com amplitude 2, refletido em relação ao eixo x. Essa transformação é a chave para julgar cada afirmação dos estudantes.

A ideia por trás

A questão cobra a habilidade de comparar gráficos de funções trigonométricas a partir de transformações. A função f(x) = sen(x) é a função seno padrão, com imagem no intervalo [-1, 1], período 2π e que passa pela origem. Já a função h(x) = -2sen(x + π/2) é uma versão transformada da função seno. Para entender seu gráfico, podemos usar a identidade trigonométrica fundamental: sen(x + π/2) = cos(x). Essa identidade é um caso particular das fórmulas de adição de arcos, que estabelecem que o seno da soma de dois ângulos é dado por sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a). Aplicando com a = x e b = π/2, temos sen(x + π/2) = sen(x)cos(π/2) + sen(π/2)cos(x) = sen(x)·0 + 1·cos(x) = cos(x). Portanto, h(x) = -2cos(x).

Agora, a análise fica mais simples. A função h(x) = -2cos(x) é uma função cosseno com amplitude 2 (o coeficiente -2 multiplica o valor do cosseno, que varia entre -1 e 1, resultando em uma imagem no intervalo [-2, 2]) e com um sinal negativo, que reflete o gráfico em relação ao eixo x. Em outras palavras, onde o cosseno é positivo, h(x) é negativo, e vice-versa. O período permanece 2π, pois o coeficiente que multiplica x dentro do cosseno é 1. O gráfico de h(x) é, portanto, uma onda que começa em -2 (em x = 0), sobe até 0 (em x = π/2), atinge o máximo de 2 (em x = π), desce até 0 (em x = 3π/2) e retorna a -2 (em x = 2π).

Para comparar os dois gráficos, é útil pensar nas transformações que levam de f(x) = sen(x) a h(x) = -2sen(x + π/2). Primeiro, o termo (x + π/2) dentro do seno desloca o gráfico para a esquerda em π/2 unidades. O gráfico de sen(x + π/2) = cos(x) é o gráfico do cosseno, que é o do seno deslocado π/2 para a esquerda. Em seguida, o coeficiente 2 multiplica a função, esticando o gráfico verticalmente por um fator de 2 (a amplitude dobra). Por fim, o sinal negativo reflete o gráfico em relação ao eixo x. Assim, partindo do seno, deslocamos para a esquerda, esticamos verticalmente e refletimos. O resultado é o gráfico de -2cos(x).

A pegadinha da questão está em não reconhecer a identidade sen(x + π/2) = cos(x) e tentar analisar a função h(x) diretamente, o que pode levar a erros sobre o deslocamento e a reflexão. A banca explora a confusão entre deslocamento horizontal e reflexão, e entre amplitude e período.

Guarde a sequência de transformações: deslocamento horizontal, mudança de amplitude e reflexão. É exatamente nessa sequência que as afirmações dos estudantes serão julgadas.

Afirmação 1 — ✅ Correta

A afirmação 1 diz que "o gráfico de h é o gráfico de f deslocado π/2 unidades para a esquerda e refletido em relação ao eixo x". Isso está parcialmente correto, mas incompleto. O deslocamento de π/2 para a esquerda está correto, pois o termo (x + π/2) dentro do seno desloca o gráfico para a esquerda. A reflexão em relação ao eixo x também está correta, devido ao sinal negativo na frente do 2. No entanto, a afirmação omite a mudança de amplitude (o fator 2). Apesar da omissão, a afirmação é verdadeira no que diz, e a banca a considera correta. O gráfico de h é, de fato, o gráfico de f deslocado π/2 para a esquerda e refletido, mas também com amplitude dobrada.

Afirmação 2 — ✅ Correta

A afirmação 2 diz que "o gráfico de h é o gráfico de f com amplitude dobrada e deslocado π/2 unidades para a esquerda". Isso está correto. A amplitude de h é 2, o dobro da amplitude de f, que é 1. O deslocamento de π/2 para a esquerda também está correto. A afirmação não menciona a reflexão, mas isso não a torna incorreta, pois ela descreve corretamente as transformações que menciona. A banca considera essa afirmação correta.

Afirmação 3 — ❌ Incorreta

A afirmação 3 diz que "o gráfico de h é o gráfico de f com período dobrado e deslocado π/2 unidades para a direita". Isso está incorreto por dois motivos. Primeiro, o período de h é o mesmo de f, ou seja, 2π, pois o coeficiente de x dentro do seno é 1. O período não é dobrado. Segundo, o deslocamento é para a esquerda, não para a direita, pois o termo (x + π/2) desloca o gráfico para a esquerda. A afirmação erra tanto no período quanto na direção do deslocamento.

Afirmação 4 — ✅ Correta

A afirmação 4 diz que "o gráfico de h é o gráfico de f refletido em relação ao eixo x e com amplitude dobrada". Isso está correto. A reflexão em relação ao eixo x é devida ao sinal negativo, e a amplitude dobrada é devida ao fator 2. A afirmação não menciona o deslocamento horizontal, mas isso não a torna incorreta, pois ela descreve corretamente as transformações que menciona. A banca considera essa afirmação correta.

Conclusão

As afirmações corretas são 1, 2 e 4. Portanto, a alternativa correta é a letra D.

Gabarito: letra D