Questão de Estatística — Intervalos de confiança — FGV 2024

Intervalo de confiança para a média com variância conhecida

Gabarito: letra A. O intervalo de 95% de confiança para a média é dado por $\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Com $\bar{x} = 5,48$, $\sigma = 2$ (pois a variância é 4), $n = 25$ e $z_{\alpha/2} = 1,96$, a margem de erro é $1,96 \cdot \frac{2}{5} = 0,784$, resultando no intervalo $(4,696;\, 6,264)$, que aproximado é $(4,70;\, 6,26)$.

O intervalo de confiança é uma ferramenta da inferência estatística que fornece uma faixa de valores plausíveis para um parâmetro populacional desconhecido (no caso, a média $\mu$), a partir de uma estimativa pontual (a média amostral $\bar{x}$) e de uma margem de erro. Quando a variância populacional é conhecida, a distribuição amostral da média é normal (ou aproximadamente normal, pelo Teorema Central do Limite), e o intervalo é construído com o quantil da normal padrão $z_{\alpha/2}$.

A fórmula geral é:

Onde:

• $\bar{x}$ é a média amostral;

• $z_{\alpha/2}$ é o valor crítico da normal padrão para o nível de confiança desejado;

• $\sigma$ é o desvio padrão populacional;

• $n$ é o tamanho da amostra.

Para 95% de confiança, $\alpha = 0,05$ e $z_{\alpha/2} = 1,96$ (dado no enunciado). O desvio padrão é a raiz quadrada da variância: $\sigma = \sqrt{4} = 2$. O erro padrão da média é $\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{25}} = \frac{2}{5} = 0,4$. A margem de erro é $1,96 \times 0,4 = 0,784$.

Assim, o intervalo é:

Aproximando para duas casas decimais, temos $(4,70;\, 6,26)$, que corresponde à alternativa A.

A pegadinha clássica desta questão é usar a variância (4) no lugar do desvio padrão (2) na fórmula. Quem erra assim calcula $1,96 \times \frac{4}{5} = 1,568$, obtendo o intervalo $(3,912;\, 7,048)$, que é a alternativa E. Outro erro comum é esquecer de dividir pela raiz de $n$, usando $\frac{\sigma}{n}$ ou $\frac{\sigma^2}{n}$.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando corretamente a fórmula com $\sigma = 2$ e $n = 25$, obtemos o intervalo $(4,70;\, 6,26)$. É exatamente o que a alternativa apresenta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O intervalo $(4,50;\, 6,46)$ tem centro em 5,48, mas a margem de erro é 0,98. Isso corresponderia a um valor crítico de $z = \frac{0,98}{0,4} = 2,45$, que não é o quantil de 95% (que é 1,96). A banca provavelmente usou um valor crítico maior ou um desvio padrão incorreto.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O intervalo $(4,30;\, 6,66)$ tem margem de erro 1,18, que implicaria $z = \frac{1,18}{0,4} = 2,95$. Não corresponde a 95% de confiança.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O intervalo $(4,10;\, 6,86)$ tem margem de erro 1,38, que implicaria $z = \frac{1,38}{0,4} = 3,45$. Valor crítico muito acima de 1,96.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O intervalo $(3,90;\, 7,06)$ tem margem de erro 1,58, que é exatamente o resultado de usar a variância (4) no lugar do desvio padrão (2): $1,96 \times \frac{4}{5} = 1,568$. É a pegadinha clássica: confundir variância com desvio padrão.

Gabarito: letra A.