Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg092726

Teste de hipóteses para a média com variância conhecida

Gabarito: letra C. O teste uniformemente mais potente para H₀: μ ≤ 30 versus H₁: μ > 30, com variância conhecida σ² = 64 e nível α = 0,05, rejeita H₀ quando a média amostral observada for maior ou igual a 31,312. Isso porque a estatística de teste $Z = \frac{\bar{X} - 30}{\sigma/\sqrt{n}}$ segue distribuição normal padrão sob H₀, e o valor crítico é $z_{0,05} = 1,64$ (fornecido no enunciado). Isolando $\bar{X}$ : $\bar{X} = 30 + 1,64 \times \frac{8}{10} = 30 + 1,312 = 31,312$ .

O problema envolve o teste de hipóteses para a média de uma população normal com variância conhecida. Nesse caso, a estatística de teste é:

Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}

que, sob a hipótese nula, tem distribuição normal padrão. Como a hipótese alternativa é unilateral à direita (μ > 30), a região crítica é da forma $Z > z_{\alpha}$ , onde $z_{\alpha}$ é o quantil da normal padrão que deixa probabilidade α à direita. O enunciado fornece $P[Z > 1,64] \approx 0,05$ , logo $z_{0,05} = 1,64$ .

A região de rejeição em termos da média amostral é obtida isolando $\bar{X}$ na desigualdade:

\frac{\bar{X} - 30}{8/\sqrt{100}} > 1,64 \Rightarrow \bar{X} > 30 + 1,64 \times 0,8 = 31,312

Portanto, rejeita-se H₀ se $\bar{X} \geq 31,312$ (ou >, pois a probabilidade de igualdade é zero em distribuição contínua).

A pegadinha clássica da banca é trocar o desvio padrão pela variância: usar σ² = 64 diretamente no denominador, esquecendo de extrair a raiz quadrada. Isso levaria a $\bar{X} = 30 + 1,64 \times 64/10 = 40,496$ , que não aparece nas alternativas, mas é um erro comum. Outra pegadinha é usar o desvio padrão amostral (desconhecido) e a distribuição t de Student, mas aqui a variância é conhecida, então o teste é Z.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor 30,866 resultaria de usar $z = 1,08$ (ou de um erro de cálculo). Não corresponde ao valor crítico correto. O cálculo correto é $30 + 1,64 \times 0,8 = 31,312$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 30,978 resultaria de usar $z = 1,22$ (ou de um erro de cálculo). Não corresponde ao valor crítico correto. O cálculo correto é $30 + 1,64 \times 0,8 = 31,312$ .

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O valor 31,312 é exatamente o resultado de $30 + 1,64 \times \frac{8}{10}$ . O desvio padrão é $\sigma = \sqrt{64} = 8$ , e o erro padrão da média é $\sigma/\sqrt{n} = 8/10 = 0,8$ . Multiplicando pelo quantil 1,64 e somando à média sob H₀, obtemos o valor crítico da média amostral.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 32,568 resultaria de usar $z = 3,21$ (ou de um erro de cálculo). Não corresponde ao valor crítico correto. O cálculo correto é $30 + 1,64 \times 0,8 = 31,312$ .

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 33,650 resultaria de usar $z = 4,56$ (ou de um erro de cálculo). Não corresponde ao valor crítico correto. O cálculo correto é $30 + 1,64 \times 0,8 = 31,312$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre variância e desvio padrão. O enunciado informa variância 64, mas o denominador da estatística Z usa o desvio padrão (8). Quem usa 64 no lugar de 8 obtém 40,496, que não está nas opções — mas a pegadinha também aparece em quem usa a distribuição t de Student, esquecendo que a variância é conhecida. Fique atento: variância conhecida → teste Z; variância desconhecida → teste t.

PEGA ESSA DICA!

Para testes de hipóteses sobre a média com variância conhecida, monte a região crítica em termos da estatística Z e depois isole a média amostral. Lembre-se: o erro padrão é $\sigma/\sqrt{n}$ , e o quantil da normal padrão para α = 0,05 unilateral é 1,64 (decorar os principais: 1,28 para 10%, 1,64 para 5%, 1,96 para 2,5% bilateral, 2,33 para 1%).

Gabarito: letra C