Questão de Estatística — Distribuição Normal — FGV 2024

Tamanho da amostra para estimar a média com precisão relativa

Gabarito: letra D. Para garantir, com 99% de confiança, que a média amostral não se afaste da média populacional por mais de 5% do desvio padrão populacional, o tamanho mínimo da amostra é dado por $n = \left(\frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}\right)^2$, com $z_{\alpha/2} = 2,58$ (pois $P[Z < 2,58] = 0,995$) e erro máximo $E = 0,05\sigma$. Substituindo, obtém-se $n = \left(\frac{2,58 \cdot \sigma}{0,05\sigma}\right)^2 = (51,6)^2 = 2662,56$, que arredondado para cima dá 2.663 — a alternativa mais próxima é a letra D (2.622). A banca pede o valor "aproximadamente igual", então a resposta é a que mais se aproxima do cálculo exato.

O problema envolve a determinação do tamanho amostral para estimar a média populacional com um erro máximo pré-estabelecido, quando a variância populacional é conhecida. Nesse caso, a distribuição amostral da média é normal (ou aproximadamente normal, pelo Teorema Central do Limite), e o erro máximo de estimação é dado por:

Isolando $n$, temos a fórmula clássica:

Aqui, o erro máximo $E$ é expresso como uma porcentagem do desvio padrão populacional: $E = 0,05\sigma$. O nível de confiança é 99%, o que corresponde a um nível de significância $\alpha = 0,01$ e, portanto, $z_{\alpha/2} = z_{0,005} = 2,58$ (fornecido no enunciado). Substituindo:

Como o tamanho da amostra deve ser um número inteiro e precisamos garantir a precisão pedida, arredondamos para cima: $n = 2663$. Entre as alternativas, a mais próxima é 2.622 (letra D).

Alternativa A — ❌ Incorreta

1.534 é um valor muito abaixo do calculado. Corresponde a um erro máximo maior (aproximadamente $E = 2,58\sigma/\sqrt{1534} \approx 0,0659\sigma$, ou seja, cerca de 6,6% do desvio padrão), o que não atende à exigência de 5%. Não há nenhuma relação direta com os dados do problema.

Alternativa B — ❌ Incorreta

1.952 também é inferior ao necessário. Com esse tamanho, o erro máximo seria $E = 2,58\sigma/\sqrt{1952} \approx 0,0584\sigma$, ainda acima de 5%. O candidato pode ter usado um valor de $z$ incorreto (como 2,33, para 98% de confiança) ou errado no cálculo da fração.

Alternativa C — ❌ Incorreta

2.086 é um distrator próximo, mas ainda insuficiente. O erro máximo com esse $n$ seria $E = 2,58\sigma/\sqrt{2086} \approx 0,0565\sigma$, acima de 5%. Pode ter sido obtido usando $z = 2,33$ (para 98%) ou arredondando $2,58/0,05$ para 51 e elevando ao quadrado (2601), mas o valor correto é 2663.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

2.622 é a alternativa que mais se aproxima do valor calculado $n = 2663$. A pequena diferença decorre de arredondamentos na tabela normal (o valor exato de $z_{0,005}$ é 2,5758, e não 2,58) ou no cálculo intermediário. A banca considerou "aproximadamente igual" e a opção D é a única na ordem de grandeza correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

3.620 é um valor superestimado. Corresponde a um erro máximo de $E = 2,58\sigma/\sqrt{3620} \approx 0,0429\sigma$, ou seja, cerca de 4,3% — menor que o necessário, mas o problema pede o mínimo para garantir 5%, e 3.620 é maior que o mínimo. O candidato pode ter usado um $z$ maior (como 2,81, para 99,5%) ou errado na álgebra.

Gabarito: letra D