Estatística · FGV · 2024 | Questão sqc-fg092729

Estimação de Máxima Verossimilhança (EMV)

Gabarito: letra E. O estimador de máxima verossimilhança (EMV) para o parâmetro $\theta$ da distribuição exponencial com densidade $f(x) = \theta e^{-\theta x}$ (para $x > 0$ ) é obtido maximizando a função de verossimilhança $L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} \theta e^{-\theta x_i} = \theta^n e^{-\theta \sum x_i}$ . Ao tomar o logaritmo natural, temos $\ln L(\theta) = n \ln \theta - \theta \sum x_i$ . Derivando em relação a $\theta$ e igualando a zero, encontramos $\frac{n}{\theta} - \sum x_i = 0$ , o que resulta em $\hat{\theta} = \frac{n}{\sum x_i}$ .

O método da máxima verossimilhança busca o valor do parâmetro que torna a amostra observada a mais provável possível. Para a distribuição exponencial, o parâmetro $\theta$ é a taxa de ocorrência. A função de verossimilhança representa a probabilidade conjunta de observar os dados da amostra como uma função do parâmetro desconhecido. A maximização dessa função, geralmente facilitada pelo uso do logaritmo (log-verossimilhança), fornece o estimador pontual mais eficiente sob condições de regularidade.

1Montar L(θ)
2Aplicar ln
3Derivar e zerar
4Isolar θ̂

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Alternativa A — ❌ Incorreta

Esta expressão representa a média amostral ( $\bar{X}$ ), que é o estimador de máxima verossimilhança para o parâmetro de média ( $\mu$ ) de uma distribuição normal, mas não para o parâmetro de taxa da exponencial.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Esta expressão não corresponde ao estimador de máxima verossimilhança para o parâmetro $\theta$ da distribuição exponencial.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Esta expressão também não corresponde ao estimador de máxima verossimilhança para o parâmetro $\theta$ da distribuição exponencial.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Esta expressão não corresponde ao estimador de máxima verossimilhança para o parâmetro $\theta$ da distribuição exponencial.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ Gabarito

Esta é a expressão correta para o estimador de máxima verossimilhança de $\theta$ , dada por $\frac{n}{\sum_{i=1}^{n} X_i}$ , que é o inverso da média amostral.

PEGA ESSA DICA!

Para distribuições da família exponencial, o estimador de máxima verossimilhança frequentemente envolve a estatística suficiente da distribuição. No caso da exponencial, a soma dos valores observados ( $\sum X_i$ ) é a estatística suficiente para $\theta$ . Lembre-se sempre de derivar a log-verossimilhança para confirmar o resultado em provas.

Gabarito: letra E.