Questão de Estatística — Amostragem — FGV 2024

Intervalo de Confiança para Proporção Populacional

Gabarito: letra B. O intervalo de 95% de confiança para a proporção é dado por $\hat{p} \pm z \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$, com $\hat{p} = 0{,}36$, $n = 100$ e $z = 1{,}96$. O erro máximo é $1{,}96 \times \sqrt{\frac{0{,}36 \times 0{,}64}{100}} = 1{,}96 \times 0{,}048 = 0{,}09408$, resultando em $(0{,}36 - 0{,}094;\, 0{,}36 + 0{,}094) = (0{,}266;\, 0{,}454)$.

Quando queremos estimar uma proporção populacional $p$ a partir de uma amostra, o estimador pontual natural é a proporção amostral $\hat{p} = \frac{x}{n}$, onde $x$ é o número de sucessos na amostra. No caso, $\hat{p} = \frac{36}{100} = 0{,}36$. Pelo Teorema Central do Limite, para amostras grandes ($n \geq 30$), a distribuição amostral de $\hat{p}$ é aproximadamente normal, com média $p$ e desvio padrão (erro padrão) $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$. Como $p$ é desconhecido, substituímos $p$ por $\hat{p}$ no erro padrão — exatamente o que o enunciado manda fazer.

O intervalo de confiança tem a forma $\hat{p} \pm z \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$, onde $z$ é o valor crítico da normal padrão associado ao nível de confiança. Para 95% de confiança, $z = 1{,}96$, pois $P[Z < 1{,}96] = 0{,}975$ implica que a área entre $-1{,}96$ e $1{,}96$ é $0{,}95$. O erro máximo (margem de erro) é $E = z \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$.

A pegadinha clássica da banca é trocar o denominador do erro padrão (usar $n-1$ em vez de $n$) ou usar $\hat{p}$ e $1-\hat{p}$ de forma incorreta. Aqui, o cálculo correto é:

Portanto, o intervalo é $(0{,}36 - 0{,}094;\, 0{,}36 + 0{,}094) = (0{,}266;\, 0{,}454)$, que corresponde à alternativa B.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O intervalo (0,304; 0,416) tem amplitude 0,112, muito menor que a correta (0,188). Isso sugere que o erro máximo foi calculado como $0{,}056$, que é exatamente a metade do erro correto. O candidato provavelmente usou $z = 0{,}98$ (metade de 1,96) ou errou ao calcular a raiz. O erro padrão correto é $0{,}048$, e o erro máximo é $0{,}094$, não $0{,}056$.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O intervalo (0,266; 0,454) é exatamente $\hat{p} \pm E$, com $\hat{p} = 0{,}36$ e $E = 0{,}094$. O cálculo: $E = 1{,}96 \times \sqrt{\frac{0{,}36 \times 0{,}64}{100}} = 1{,}96 \times 0{,}048 = 0{,}094$. O intervalo é $(0{,}36 - 0{,}094;\, 0{,}36 + 0{,}094) = (0{,}266;\, 0{,}454)$. Confere perfeitamente.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O intervalo (0,210; 0,510) tem amplitude 0,300, que corresponde a um erro máximo de $0{,}150$. Isso é aproximadamente $1{,}96 \times 0{,}0765$, o que sugere que o candidato usou $\hat{p} = 0{,}5$ no erro padrão (o pior caso, que maximiza $\hat{p}(1-\hat{p}) = 0{,}25$), resultando em $\sqrt{\frac{0{,}25}{100}} = 0{,}05$ e $E = 1{,}96 \times 0{,}05 = 0{,}098$. Mas o intervalo correto usa $\hat{p} = 0{,}36$, não $0{,}5$. O erro padrão com $\hat{p} = 0{,}5$ seria $0{,}05$, e o intervalo seria $(0{,}262;\, 0{,}458)$, que não é exatamente o da alternativa C. A alternativa C provavelmente usou $\hat{p} = 0{,}5$ e $z = 2$ (aproximação), gerando $E = 2 \times 0{,}05 = 0{,}10$, mas o intervalo seria $(0{,}40;\, 0{,}60)$, não (0,210; 0,510). Na verdade, (0,210; 0,510) tem centro 0,36, mas erro 0,150, que é $1{,}96 \times 0{,}0765$. Isso não corresponde a nenhum cálculo direto com os dados.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O intervalo (0,202; 0,518) tem amplitude 0,316, erro máximo $0{,}158$. Isso é aproximadamente $1{,}96 \times 0{,}0806$, que não corresponde a nenhum valor óbvio. O candidato pode ter usado $\hat{p} = 0{,}36$ mas com um erro de cálculo na raiz ou no valor de $z$. O erro correto é $0{,}094$, não $0{,}158$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O intervalo (0,199; 0,601) tem amplitude 0,402, erro máximo $0{,}201$. Isso é aproximadamente $1{,}96 \times 0{,}1025$, que não corresponde a nenhum cálculo direto. O candidato pode ter usado $\hat{p} = 0{,}5$ e $z = 2{,}5$ ou errado completamente o cálculo. O erro correto é $0{,}094$, não $0{,}201$.

Gabarito: letra B