Questão de Matemática — Funções — FGV 2024

Funções: Domínio e Reconhecimento Gráfico

Gabarito: letra B. A questão cobra o domínio de uma função real e o reconhecimento gráfico de uma função. A alternativa correta é a que apresenta o domínio da função $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-2}}$, que é $D = \{x \in \mathbb{R} | x > 2\}$, pois o radicando não pode ser negativo nem zero, já que está no denominador sob uma raiz quadrada. As demais alternativas apresentam erros conceituais sobre domínio, imagem ou a definição de função.

O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores que a variável independente (x) pode assumir para que a função esteja bem definida. Em outras palavras, são todos os valores de x para os quais existe um correspondente y = f(x). Para encontrar o domínio, precisamos identificar as restrições impostas pela expressão da função. As restrições mais comuns são:

1. Denominador não pode ser zero: se a função tem uma fração, o denominador deve ser diferente de zero.

2. Radicando de raiz de índice par não pode ser negativo: se a função tem uma raiz quadrada, cúbica, etc., o radicando deve ser maior ou igual a zero (para raiz de índice par).

3. Logaritmando deve ser positivo: se a função tem um logaritmo, o logaritmando deve ser maior que zero.

Vamos analisar cada caso:

• Função $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-2}}$: Aqui temos duas restrições. O radicando $x-2$ não pode ser negativo (pois está em uma raiz quadrada) e não pode ser zero (pois está no denominador). Portanto, $x-2 > 0 \Rightarrow x > 2$. O domínio é $D = \{x \in \mathbb{R} | x > 2\}$.

• Função $g(x) = \sqrt{2x+4}$: O radicando $2x+4$ não pode ser negativo, então $2x+4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2$. O domínio é $D = [-2, +\infty)$.

• Função $h(x) = \sqrt[3]{3x-9}$: A raiz cúbica não tem restrição de radicando, mas o radicando está no denominador, então $3x-9 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$. O domínio é $D = \mathbb{R} - \{3\}$.

• Função $i(x) = \sqrt[3]{x}$: A raiz cúbica não tem restrição, então o domínio é $D = \mathbb{R}$.

O reconhecimento gráfico de uma função é feito pelo teste da reta vertical: se uma reta vertical (paralela ao eixo y) interceptar o gráfico em mais de um ponto, então a relação não é uma função. Isso porque, para cada valor de x no domínio, deve haver apenas um valor de y correspondente.

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que y assume. Para encontrar a imagem graficamente, projetamos o gráfico sobre o eixo y.

A pegadinha desta questão está em confundir o domínio com a imagem, ou em esquecer as restrições do denominador e do radicando. A banca pode apresentar alternativas com o domínio correto, mas com a notação errada (por exemplo, incluindo o 2 quando deveria excluir), ou com a imagem no lugar do domínio.

Guarde a fronteira entre domínio (valores de x) e imagem (valores de y), e as restrições de cada tipo de expressão: é exatamente nesses pontos que as alternativas se dividem.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta o domínio como $D = \{x \in \mathbb{R} | x \geq 2\}$, incluindo o 2. No entanto, para a função $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-2}}$, o valor $x = 2$ torna o denominador zero, o que não é permitido. O domínio correto é $x > 2$.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta o domínio como $D = \{x \in \mathbb{R} | x > 2\}$, que é exatamente o domínio da função $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-2}}$. O radicando deve ser positivo, pois está no denominador sob uma raiz quadrada.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta o domínio como $D = \mathbb{R} - \{2\}$, que exclui apenas o 2, mas permite valores menores que 2, como $x = 1$, que tornariam o radicando negativo, o que não é permitido.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta o domínio como $D = \mathbb{R}$, o que incluiria valores como $x = 1$, que tornam o radicando negativo, e $x = 2$, que torna o denominador zero. Portanto, não é o domínio correto.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta o domínio como $D = \{x \in \mathbb{R} | x \leq 2\}$, que é exatamente o oposto do domínio correto. Inclui valores que tornam o radicando negativo e exclui valores que são permitidos.

Gabarito: letra B