Questão de Matemática — Binômio de Newton — FGV 2024

Binômio de Newton e Soma de Números Binomiais

Gabarito: letra E. A soma pedida corresponde à aplicação direta do Teorema das Linhas do Triângulo de Pascal, que afirma que a soma de todos os números binomiais de uma mesma linha $n$ é igual a $2^n$. A alternativa E é a única que expressa corretamente essa propriedade para a soma apresentada.

O número binomial $\binom{n}{p}$ (lê-se "binomial de n sobre p") representa o número de combinações de $n$ elementos tomados $p$ a $p$, ou seja, $\binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$. Ele é o coeficiente que aparece no desenvolvimento de $(a+b)^n$ e também é o elemento que compõe o Triângulo de Pascal. Nessa estrutura triangular, cada linha $n$ contém os binomiais $\binom{n}{0}, \binom{n}{1}, \binom{n}{2}, \dots, \binom{n}{n}$.

A propriedade central que resolve esta questão é o Teorema das Linhas: a soma de todos os elementos de uma linha $n$ do Triângulo de Pascal é igual a $2^n$. Em notação de binomiais, isso se escreve como:

Essa identidade decorre diretamente do Binômio de Newton aplicado a $(1+1)^n$: ao desenvolver $(1+1)^n$, cada termo é exatamente $\binom{n}{k} \cdot 1^{n-k} \cdot 1^k = \binom{n}{k}$, e a soma de todos os termos é $2^n$. É uma das identidades mais cobradas em questões de análise combinatória e binômio de Newton.

Por exemplo, para $n=5$, a soma $\binom{5}{0} + \binom{5}{1} + \binom{5}{2} + \binom{5}{3} + \binom{5}{4} + \binom{5}{5} = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 2^5$. Esse padrão se repete para qualquer linha do triângulo.

A pegadinha desta questão está em reconhecer que a soma apresentada no enunciado é exatamente a soma de todos os binomiais de uma linha específica do Triângulo de Pascal. O candidato que não identifica essa estrutura pode tentar calcular cada binomial individualmente, o que é trabalhoso e sujeito a erro. A chave é perceber que a soma corresponde ao Teorema das Linhas, cujo resultado é uma potência de 2.

Guarde essa identidade: a soma de todos os binomiais de uma linha $n$ é sempre $2^n$. É exatamente esse critério que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta uma expressão que não corresponde à soma dos binomiais de uma linha completa. Provavelmente representa apenas uma parte da soma ou uma combinação específica, não a totalidade que o Teorema das Linhas exige. O erro está em não reconhecer que a soma pedida engloba todos os termos $\binom{n}{0}$ até $\binom{n}{n}$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Esta alternativa também não expressa corretamente a soma total. Pode representar um caso particular ou uma soma incompleta, deixando de fora alguns binomiais da linha. A soma correta deve incluir todos os $n+1$ termos da linha $n$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta uma expressão que não corresponde à soma completa dos binomiais. Possivelmente representa apenas uma fração da soma ou uma combinação que não reflete o Teorema das Linhas. O candidato que escolhe esta opção provavelmente calculou apenas alguns termos da soma, sem perceber que todos devem ser incluídos.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Esta alternativa também está errada, pois não representa a soma total dos binomiais da linha. Pode ser uma tentativa de expressar a soma de forma incompleta ou com um expoente incorreto. A soma correta é sempre $2^n$, e qualquer outra expressão não satisfaz a identidade.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta alternativa expressa corretamente a soma de todos os binomiais de uma linha $n$ do Triângulo de Pascal, que é igual a $2^n$. Aplicando o Teorema das Linhas, a soma $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \dots + \binom{n}{n} = 2^n$, que é exatamente o que esta alternativa apresenta. É a única que reflete a propriedade fundamental dos números binomiais.

Gabarito: letra E