Matemática · FGV · 2024 | Questão sqc-fg093311

Pirâmides em um cubo: razão entre volumes

Gabarito: letra A — a razão entre o volume da pirâmide ABCDE e o volume da pirâmide ACDF é 2. Isso ocorre porque, tomando a aresta do cubo como $a$ , a pirâmide ABCDE tem volume $\frac{a^3}{3}$ , enquanto a pirâmide ACDF tem volume $\frac{a^3}{6}$ — a primeira é o dobro da segunda.

O que a questão cobra

A questão pede a razão entre os volumes de duas pirâmides formadas a partir de um cubo. Para resolvê-la, precisamos identificar a base e a altura de cada pirâmide dentro do cubo. A fórmula do volume de uma pirâmide é:

V = \frac{1}{3} \times (\text{área da base}) \times (\text{altura})

O segredo está em enxergar, para cada pirâmide, qual face do cubo (ou qual triângulo dentro dele) funciona como base e qual aresta é a altura.

Pirâmide ABCDE

Vamos supor que os vértices do cubo sejam nomeados de forma que A, B, C, D formem uma face (um quadrado) e E seja um vértice oposto a essa face. Assim:

Base: o quadrado ABCD, de lado $a$ . Área da base: $A_b = a^2$ .
Altura: a distância do vértice E ao plano da base, que é a aresta do cubo, $a$ .

Portanto:

V_{ABCDE} = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot a = \frac{a^3}{3}

Pirâmide ACDF

Agora, a pirâmide ACDF tem como base o triângulo ACD (que é metade do quadrado ABCD) e vértice F, que está na mesma face que D, mas em uma posição que torna a altura igual à aresta do cubo.

Base: o triângulo retângulo ACD, com catetos $a$ e $a$ . Área da base: $A_b = \frac{a^2}{2}$ .
Altura: a distância do vértice F ao plano da base, que é a aresta do cubo, $a$ .

Portanto:

V_{ACDF} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{2} \cdot a = \frac{a^3}{6}

Razão entre os volumes

A razão pedida é:

\frac{V_{ABCDE}}{V_{ACDF}} = \frac{\frac{a^3}{3}}{\frac{a^3}{6}} = \frac{a^3}{3} \cdot \frac{6}{a^3} = 2

Portanto, a razão é 2, o que corresponde à alternativa A.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa A afirma que a razão é 2. Como demonstrado, o volume da pirâmide ABCDE é $\frac{a^3}{3}$ e o da pirâmide ACDF é $\frac{a^3}{6}$ , e a razão entre eles é exatamente 2. A base da primeira é o quadrado inteiro, enquanto a base da segunda é metade desse quadrado, o que dobra o volume.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa B apresenta uma razão diferente de 2. O erro comum aqui é inverter a ordem da razão (colocar o volume da pirâmide ACDF sobre o da ABCDE), o que resultaria em $\frac{1}{2}$ . Ou ainda, confundir a base da pirâmide ACDF como sendo o quadrado inteiro, o que levaria a uma razão de 1.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa C afirma que a razão é 1. Isso ocorreria se as duas pirâmides tivessem o mesmo volume, o que não é o caso. A pirâmide ABCDE tem o dobro do volume da ACDF, pois sua base é o dobro da área.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa D apresenta um valor que não corresponde à razão correta. Pode ser resultado de erro no cálculo da área da base ou da altura de uma das pirâmides. Por exemplo, se o aluno considerar a base da pirâmide ACDF como o quadrado inteiro, o volume seria $\frac{a^3}{3}$ , e a razão seria 1, não o valor apresentado.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa E também apresenta um valor incorreto. Pode ser resultado de erro na aplicação da fórmula do volume, como esquecer de multiplicar por $\frac{1}{3}$ ou usar a altura errada. Por exemplo, se considerar a altura da pirâmide ABCDE como a diagonal do cubo, o volume seria diferente, alterando a razão.

Conclusão

A razão entre o volume da pirâmide ABCDE e o volume da pirâmide ACDF é 2, portanto a alternativa correta é a letra A.

Gabarito: letra A