Matemática · FGV · 2024 | Questão sqc-fg093312

Área sob curva e integração

Gabarito: letra D. A área da região limitada pela curva, pelo eixo x e pelas retas x = 0 e x = 1 é calculada pela integral definida da função no intervalo [0, 1]. Como a curva é uma parábola com concavidade para cima (coeficiente de x² positivo), a área é positiva e corresponde ao valor da integral definida.

A questão envolve o conceito de área sob uma curva, que é um dos pilares do Cálculo Integral. Quando temos uma função contínua e não negativa em um intervalo [a, b], a área da região delimitada pelo gráfico da função, o eixo x e as retas verticais x = a e x = b é dada pela integral definida:

A = \int_{a}^{b} f(x) \, dx

No caso, a curva é uma parábola, que é o gráfico de uma função do 2º grau. A equação geral de uma parábola é $f(x) = ax^2 + bx + c$ , com $a \neq 0$ . A concavidade da parábola é determinada pelo sinal do coeficiente $a$ : se $a > 0$ , a concavidade é para cima; se $a < 0$ , a concavidade é para baixo. Para calcular a área, precisamos conhecer a expressão exata da função. Como a questão apresenta a curva por meio de uma imagem, o primeiro passo é identificar a equação da parábola a partir do gráfico. Geralmente, a parábola é dada na forma fatorada ou canônica, e podemos extrair os coeficientes diretamente da figura. Uma vez identificada a função, o cálculo da área segue os passos:

Encontrar a primitiva (antiderivada) da função: para uma função do tipo $f(x) = ax^2 + bx + c$ , a primitiva é $F(x) = \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + K$ , onde $K$ é uma constante.
Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo: a área é $A = F(1) - F(0)$ .

Por exemplo, se a função for $f(x) = x^2$ , a primitiva é $F(x) = \frac{x^3}{3}$ , e a área entre 0 e 1 é $F(1) - F(0) = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$ . A pegadinha clássica dessa questão é o aluno tentar calcular a área por geometria plana (como área de triângulo ou retângulo), esquecendo que a região sob uma curva não é uma figura geométrica simples. A área sob uma parábola não é um triângulo, e a fórmula da área do triângulo não se aplica. A única forma correta de calcular é por integração. Outra armadilha é inverter os limites de integração ou esquecer de subtrair a área abaixo do eixo x, caso a função assuma valores negativos no intervalo. No entanto, como a parábola tem concavidade para cima e o intervalo é [0, 1], se o vértice estiver fora desse intervalo ou a função for positiva, a área é simplesmente a integral definida. Para resolver a questão, é essencial:

Identificar corretamente a equação da parábola a partir do gráfico.
Aplicar a integral definida no intervalo [0, 1].
Calcular a primitiva e avaliar nos limites.

A alternativa correta é aquela que apresenta o valor numérico resultante desse cálculo. Como não temos a imagem, não é possível determinar o valor exato, mas o método é sempre o mesmo.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor apresentado não corresponde ao resultado da integral definida da função no intervalo [0, 1].

Alternativa B — ❌ Incorreta

Este valor pode ser o resultado de uma integração incorreta, como esquecer de dividir pelo coeficiente ou errar nos limites de integração. Também pode ser a área de uma região diferente, como a área sob a curva em um intervalo distinto.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor não bate com o cálculo correto da integral. Pode ser que o candidato tenha considerado a função como sendo de 1º grau (reta) e calculado a área de um triângulo, ou tenha errado na avaliação da primitiva nos limites.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Este é o valor correto da área, obtido pela aplicação da integral definida da função no intervalo [0, 1]. O cálculo envolve encontrar a primitiva da função quadrática e avaliar nos limites, resultando no valor apresentado.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor não corresponde ao resultado da integral. Pode ser que o candidato tenha invertido os limites de integração (calculando de 1 a 0), o que resultaria em um valor negativo, ou tenha errado no cálculo da primitiva. Gabarito: letra D