Questão de Matemática — Médias — FGV 2024

Médias, mediana e moda em lista unimodal

Gabarito: letra B — as afirmativas são, respectivamente, V – V – F. A primeira é verdadeira porque a mediana 21 e a moda 22, com média 20,2, forçam que todas as idades sejam maiores que 15; a segunda é verdadeira porque 18 não pode aparecer na lista; a terceira é falsa porque, retirando a pessoa mais velha, a média passa a ser 19,25, e não 19.

Vamos entender o problema. Temos 5 idades, números inteiros positivos, organizados em ordem crescente (lista unimodal). A mediana de 5 elementos é o 3º termo, logo o 3º valor é 21. A moda é 22, ou seja, 22 é o valor que mais se repete. A média é 20,2, então a soma das 5 idades é $5 \times 20,2 = 101$.

Como a lista é unimodal e a moda é 22, o 22 deve aparecer mais vezes que qualquer outro número. Como a mediana é 21 (3º termo), o 22 não pode estar antes do 3º termo (senão a mediana seria 22). Então o 22 só pode ocupar as posições 4 e/ou 5. Para ser moda, deve aparecer pelo menos 2 vezes (se aparecesse 1 vez, não seria moda, pois qualquer outro valor com frequência 1 também seria moda, e a lista seria multimodal). Assim, os dois últimos termos são 22 e 22.

A lista tem a forma: $a \le b \le 21 \le 22 \le 22$, com $a, b$ inteiros positivos e $a \le b \le 21$.

A soma é $a + b + 21 + 22 + 22 = 101$, logo $a + b = 101 - 65 = 36$.

Como $a \le b \le 21$, o maior valor que $b$ pode ter é 21, e então $a = 15$. Se $b < 21$, $a$ seria maior que 15, mas nunca menor que 15, pois $a + b = 36$ com $b \le 21$ implica $a \ge 15$. Portanto, a menor idade possível é 15, e todas as pessoas têm mais de 15 anos? Não: 15 não é maior que 15, é igual. A afirmativa I diz "Todas as pessoas têm mais de 15 anos de idade". Se $a = 15$, então uma pessoa tem exatamente 15 anos, o que contradiz "mais de 15". Mas será que $a$ pode ser 15? Sim, se $b = 21$, a lista seria 15, 21, 21, 22, 22. Verificando: mediana = 21, moda = 22 (aparece 2 vezes, e 21 também aparece 2 vezes — mas a lista é unimodal, então não pode ter duas modas! Aqui está o problema: se $b = 21$, então 21 aparece 2 vezes e 22 aparece 2 vezes, resultando em uma lista bimodal, o que viola a condição de unimodalidade. Portanto, $b$ não pode ser 21. Se $b = 20$, então $a = 16$, e a lista seria 16, 20, 21, 22, 22 — unimodal, com moda 22. Se $b = 19$, $a = 17$, lista 17, 19, 21, 22, 22. Se $b = 18$, $a = 18$, lista 18, 18, 21, 22, 22 — mas aí 18 aparece 2 vezes e 22 aparece 2 vezes, bimodal, violando a unimodalidade. Então $b$ não pode ser 18. Se $b = 17$, $a = 19$, mas $a \le b$ exige $a \le 17$, então impossível. Portanto, as únicas listas possíveis são: 16, 20, 21, 22, 22 e 17, 19, 21, 22, 22. Em ambas, a menor idade é 16 ou 17, ambas maiores que 15. Logo, a afirmativa I é verdadeira.

A afirmativa II diz que não é possível que uma pessoa tenha 18 anos. Nas listas possíveis (16, 20, 21, 22, 22 e 17, 19, 21, 22, 22), o 18 não aparece. Mas será que existe alguma outra combinação? Já vimos que $a + b = 36$ com $a \le b \le 21$ e a condição de unimodalidade. Se $b = 18$, então $a = 18$, e a lista seria 18, 18, 21, 22, 22, que é bimodal (18 e 22 aparecem 2 vezes cada), violando a unimodalidade. Portanto, 18 não pode aparecer. Afirmativa II verdadeira.

A afirmativa III diz que, se a pessoa mais velha for retirada, a média passa a ser 19. A pessoa mais velha tem 22 anos. Retirando um 22, a soma das 4 restantes é $101 - 22 = 79$, e a média é $79 / 4 = 19,75$, não 19. Portanto, afirmativa III falsa.

Afirmativa I — ✅ Verdadeira

A menor idade possível é 16 (na lista 16, 20, 21, 22, 22) ou 17 (na lista 17, 19, 21, 22, 22). Em ambos os casos, todas as idades são maiores que 15. A afirmativa é verdadeira.

Afirmativa II — ✅ Verdadeira

Não é possível ter 18 anos na lista. Se 18 aparecesse, para manter a soma 101 e a mediana 21, o outro termo seria também 18 (pois $a + b = 36$), resultando em 18, 18, 21, 22, 22, que é bimodal (18 e 22 aparecem 2 vezes), violando a condição de lista unimodal. Portanto, 18 não pode aparecer. Afirmativa verdadeira.

Afirmativa III — ❌ Falsa

Retirando a pessoa mais velha (22), a soma das 4 idades restantes é $101 - 22 = 79$, e a média é $79 / 4 = 19,75$, não 19. Afirmativa falsa.

Gabarito: letra B — V, V, F.