Matemática · FGV · 2024 | Questão sqc-fg093318

Progressão Geométrica: razão a partir de termo e soma

Gabarito: letra C. A razão da PG é 2. Isso porque, usando a fórmula do termo geral $a_{16} = a_1 \cdot q^{15}$ e a diferença dada ( $a_{16} - a_1 = 60$ ), obtemos $a_1(q^{15} - 1) = 60$ . Já a soma dos 15 primeiros termos, $S_{15} = \frac{a_1(q^{15} - 1)}{q - 1} = 360$ , permite substituir $a_1(q^{15} - 1)$ por 60, resultando em $\frac{60}{q - 1} = 360$ , o que leva a $q - 1 = \frac{1}{6}$ e, portanto, $q = \frac{7}{6}$ . Atenção: o gabarito oficial aponta a letra C, mas o cálculo correto indica $q = \frac{7}{6}$ ; confira os valores das alternativas na prova original.

A ideia por trás

Uma Progressão Geométrica (PG) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão ( $q$ ). Por exemplo, na PG (3, 6, 12, 24, ...), a razão é $q = 2$ , pois cada termo é o dobro do anterior.

Para resolver a questão, precisamos de duas fórmulas fundamentais:

Termo geral: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ — permite calcular qualquer termo a partir do primeiro e da razão.
Soma dos $n$ primeiros termos (para $q \neq 1$ ): $S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$ .

O enunciado fornece duas informações:

A diferença entre o 16º termo e o 1º termo é 60: $a_{16} - a_1 = 60$ .
A soma dos 15 primeiros termos é 360: $S_{15} = 360$ .

Usando a fórmula do termo geral para $a_{16}$ :

a_{16} = a_1 \cdot q^{15}

Substituindo na diferença:

a_1 \cdot q^{15} - a_1 = 60 \Rightarrow a_1(q^{15} - 1) = 60

Agora, aplicando a fórmula da soma para $n = 15$ :

S_{15} = \frac{a_1(q^{15} - 1)}{q - 1} = 360

Observe que o numerador $a_1(q^{15} - 1)$ já foi calculado como 60. Substituindo:

\frac{60}{q - 1} = 360

Multiplicando ambos os lados por $(q - 1)$ :

60 = 360(q - 1)

Dividindo por 360:

q - 1 = \frac{60}{360} = \frac{1}{6}

Portanto:

q = 1 + \frac{1}{6} = \frac{7}{6}

Assim, a razão da PG é $\frac{7}{6}$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca pode tentar confundir o candidato ao apresentar alternativas que correspondem a erros comuns, como trocar a fórmula da soma (usar $q^n$ em vez de $q^{n-1}$ ) ou inverter a relação entre termo e soma. Aqui, o passo crítico é perceber que $a_1(q^{15} - 1)$ aparece tanto na diferença quanto na soma, permitindo a substituição direta. Fique atento: se você calcular $q$ como $\frac{7}{6}$ e não encontrar essa opção, revise os cálculos — o gabarito oficial aponta a letra C, mas o valor correto é $\frac{7}{6}$ .

Análise das alternativas

Como as alternativas não foram fornecidas no enunciado, não é possível analisá-las individualmente. No entanto, o raciocínio acima demonstra que a razão correta é $\frac{7}{6}$ . Se alguma alternativa trouxer esse valor, ela será a correta. Caso contrário, pode haver um erro no enunciado ou no gabarito oficial.

Gabarito: letra C (conforme oficial, mas o cálculo indica $q = \frac{7}{6}$ ).

Questão de Matemática — Progressões — FGV 2024

Progressão Geométrica: razão a partir de termo e soma

A ideia por trás

Análise das alternativas