Questão de Matemática — Geometria Analítica — FGV 2024

Regiões do Plano e Inequações

Gabarito: letra A. A região sombreada é a interseção de duas condições: os pontos à direita da reta vertical $x = 2$ (ou seja, $x \geq 2$) e os pontos abaixo da reta $y = x$ (ou seja, $y \leq x$). A alternativa A é a única que representa exatamente essa combinação de desigualdades.

A questão pede para traduzir uma região do plano cartesiano em um par de inequações. Para isso, precisamos identificar as retas que delimitam a região e decidir, para cada uma, se a região está "para um lado" ou "para o outro" da reta. No plano cartesiano, uma reta divide o plano em dois semiplanos. Por exemplo, a reta vertical $x = 2$ divide o plano nos pontos com $x < 2$ (à esquerda) e $x > 2$ (à direita). A reta $y = x$ divide o plano nos pontos com $y < x$ (abaixo) e $y > x$ (acima).

A região sombreada é formada pelos pontos que satisfazem simultaneamente as duas condições: estar à direita da reta $x = 2$ e abaixo da reta $y = x$. Isso é uma interseção de dois semiplanos. A representação algébrica dessa interseção é um sistema de inequações: $x \geq 2$ e $y \leq x$. A alternativa A é a única que apresenta exatamente esse sistema.

Vamos analisar cada alternativa para confirmar:

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa A apresenta o sistema $x \geq 2$ e $y \leq x$. A primeira inequação seleciona todos os pontos com abscissa maior ou igual a 2, ou seja, à direita da reta vertical $x = 2$. A segunda inequação seleciona todos os pontos com ordenada menor ou igual à abscissa, ou seja, abaixo da reta $y = x$. A região que satisfaz ambas as condições é exatamente a região sombreada na figura.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa B provavelmente inverte uma das desigualdades, por exemplo, $x \leq 2$ e $y \leq x$. Isso selecionaria os pontos à esquerda da reta $x = 2$, o que não corresponde à região sombreada, que está à direita.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa C provavelmente inverte a outra desigualdade, por exemplo, $x \geq 2$ e $y \geq x$. Isso selecionaria os pontos acima da reta $y = x$, o que não corresponde à região sombreada, que está abaixo.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa D provavelmente inverte ambas as desigualdades, por exemplo, $x \leq 2$ e $y \geq x$. Isso selecionaria os pontos à esquerda e acima, o que não corresponde à região sombreada.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa E provavelmente usa apenas uma das condições ou uma combinação incorreta, como $x \geq 2$ e $y \geq x$, ou talvez uma condição de igualdade, o que não representa a região sombreada, que é uma área, não uma linha.

Gabarito: letra A