Questão de Matemática — Seno, Cosseno e Tangente — FGV 2024

Conjuntos e Trigonometria: descrição de um conjunto por desigualdades

Gabarito: letra B. A questão pede a descrição do conjunto A, definido por uma condição trigonométrica, como um conjunto de números reais x que satisfazem uma desigualdade. A alternativa correta é a que apresenta a desigualdade equivalente à condição dada, considerando o domínio e o sinal da função trigonométrica envolvida. Como a questão depende de figuras que não estão disponíveis, a resolução é apresentada pelo método geral, e a confiança no gabarito é limitada.

O problema envolve a descrição de um conjunto A, definido por uma condição que envolve funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente), como um conjunto de números reais que satisfazem uma desigualdade. Para resolver, é necessário identificar a condição original (provavelmente uma inequação trigonométrica) e transformá-la em uma desigualdade algébrica, considerando o domínio das funções envolvidas.

A base teórica está nas definições das razões trigonométricas no triângulo retângulo e no círculo trigonométrico. No triângulo retângulo, o seno de um ângulo agudo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa; o cosseno é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa; a tangente é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. No círculo trigonométrico, o seno é a projeção do raio sobre o eixo vertical, o cosseno sobre o eixo horizontal, e a tangente é o comprimento do segmento na reta tangente ao círculo no ponto (1,0).

A relação fundamental da trigonometria é $\operatorname{sen}^2 x + \cos^2 x = 1$, e a tangente é definida como $\tan x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}$, desde que $\cos x \neq 0$. Essas relações são essenciais para transformar expressões trigonométricas em desigualdades algébricas.

Por exemplo, se a condição original for $\operatorname{sen} x \geq \frac{1}{2}$, a solução no intervalo $[0, 2\pi]$ é $x \in [\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$. Se for $\cos x \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$, a solução é $x \in [\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}]$. Se for $\tan x \geq 1$, a solução é $x \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}) \cup [\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2})$.

A pegadinha comum é inverter o sinal da desigualdade ou esquecer o domínio da tangente (onde $\cos x = 0$). Além disso, a banca pode apresentar a desigualdade em termos de uma função trigonométrica diferente da original, exigindo o uso de identidades para converter.

Como as figuras não estão disponíveis, não é possível identificar a condição exata. O método de resolução é: (1) identificar a condição trigonométrica que define o conjunto A; (2) resolver a inequação trigonométrica no intervalo relevante; (3) expressar a solução como uma desigualdade em x, se possível; (4) comparar com as alternativas.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Provavelmente apresenta uma desigualdade que não corresponde à condição original, seja por inverter o sinal, seja por usar a função trigonométrica errada. Sem a figura, não é possível detalhar o erro específico.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

É a alternativa que apresenta a desigualdade equivalente à condição que define o conjunto A. A correção depende da figura, mas o gabarito oficial indica que esta é a resposta.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Provavelmente apresenta uma desigualdade com o sinal invertido ou com um intervalo incorreto, não representando o conjunto A.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Provavelmente apresenta uma desigualdade que inclui valores fora do conjunto A ou exclui valores que deveriam estar incluídos.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Provavelmente apresenta uma desigualdade que não é equivalente à condição original, talvez por usar uma função trigonométrica diferente ou por erro no domínio.

Gabarito: letra B